Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

29. Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p^{2}. Zeigen Sie,

daß

G ≅ ℤ_{p^{2}} oder G ≅ ℤ_{p} × ℤ_{p}

ist. (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 27). (4)

30. Entscheiden Sie, ob die folgenden Kongruenzen lösbar sind, und geben Sie ggf. eine Lösung an.

(a) In dem Polynomring ℝ[x]:

p ≡ x^{2} (mod x^{3} + 2x − 1) p ≡ x (mod x^{2} + 3)

(b) In den ganzen Zahlen ℤ:

n ≡ 3 (mod 6) n ≡ 8 (mod 15)

(c) In den ganzen Zahlen ℤ:

n ≡ 3 (mod 9) n ≡ 6 (mod 12)

(6)

31. Sei R ein Integritätsring mit einem Element x, das irreduzibel, aber nicht prim ist. Es gibt also zwei Elemente a, b ∈ R mit der Eigenschaft x | ab, x ∤ a, x ∤ b. Dafür zeige man:

(a) Die Ideale (x) ∩ (a) und (x, a) sind keine Hauptideale.

(b) Das Paar x, a besitzt einen größten gemeinsamen Teiler.

(c) Das Paar xb, ab besitzt keinen größten gemeinsamen Teiler.

(Hinweis: Dabei heißt d ein größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d sowohl Teiler von a als auch Teiler von b ist und jeder andere gemeinsame Teiler auch ein Teiler von d ist.) (6)

32. Sei i = \sqrt{−1} ∈ ℂ und R = ℤ[i] = \{a + b i | a, b ∈ ℤ\} der sog. Ring der Gaußschen Zahlen. Man zeige, daß

2 = (1 + i)(1 − i)

die Primfaktorzerlegung von 2 ∈ R ist. (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 28). (4)

Abgabe: Dienstag, 14.1.2003, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.