Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

21. Sei X eine beliebige Menge. Auf der Menge

F (X) := ⋃_{n=0}^{∞} X^{n}

definieren wir eine Multiplikation durch

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(y_{1}, y_{2}, …, y_{m}) := (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{m})

Dabei ist X^{0} = Abb(∅, X) einelementig; das eindeutig bestimmte Element heißt das leere Wort und ist das neutrale Element bezüglich dieser Verknüpfung. F (X) wird auf diese Weise zu einem Monoid, dem sog. freien Monoid über X. Durch

ι : X → F (X), x ↦ (x)

ist X in F (X) eingebettet. Zeigen Sie: Ist M irgendein Monoid und f : X → M irgendeine Abbildung, so gibt es genau einen Monoidhomomorphismus g : F (X) → M mit g ∘ ι = f. (5)

22. Seien G und H zwei Gruppen. E(G ∪ H) sei die freie Gruppe über der disjunkten Vereinigung G ∪ H; die kanonische Einbettung bezeichnen wir mit

ι : G ∪ H → E(G ∪ H)

Sei N der Durchschnitt aller Normalteiler von E(G ∪ H), die die Elemente

ι(gg′)ι(g)^{−1}ι(g′)^{−1} ι(hh′)ι(h)^{−1}ι(h′)^{−1}

für g, g′ ∈ G und h, h′ ∈ H enthalten, und sei G ∗ H := E(G ∪ H)/N. Zeigen Sie: Sind f_{G} : G → F und f_{H} : H → F zwei Gruppenhomomorphismen in eine beliebige Gruppe F, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus k : G ∗ H → F mit

k(\overline{ι(g)}) = f_{G}(g) k(\overline{ι(h)}) = f_{H}(h)

für alle g ∈ G und alle h ∈ H. (5)

23. Bestimmen Sie alle Untergruppen der alternierenden Gruppe A_{4}. Zeichnen Sie alle Untergruppen in ein Diagramm, das graphisch darstellt, wie die Untergruppen ineinander enthalten sind. (Hinweis: Sie sollen also einerseits ein Bild malen, andererseits beweisen, daß Ihre Untergruppen-Liste vollständig ist.) (5)

24. Man bestimme alle Sylowuntergruppen der symmetrischen Gruppen S_{4} und S_{5}. (Hinweis: Beweisen Sie, daß Ihre Listen vollständig sind.) (5)

Abgabe: Dienstag, 10.12.2002, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.