Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

17. Im Jahre 1873 bewies C. Hermite die Transzendenz von e; im Jahre 1882 bewies F. Lindemann die Transzendenz von π. Zeigen Sie unter Verwendung dieser Resultate, daß e + π und eπ nicht beide algebraisch über ℚ sein können. (Hinweis: Es ist von beiden Zahlen nicht bekannt, ob sie algebraisch oder transzendent sind.) (3)

18. Zeigen Sie: Die Polynome

x^{4} + x + 1 ∈ 𝔽_{2}[x], x^{5} + x^{3} + 1 ∈ 𝔽_{2}[x], x^{4} + 2x^{3} + x + 1 ∈ 𝔽_{3}[x]

sind irreduzibel. (3)

19. Betrachten Sie die zyklische Gruppe ℤ_{p}, wobei p eine Primzahl ist. Zeigen Sie, daß die Gruppe G aller Automorphismen von ℤ_{p} isomorph zur multiplikativen Gruppe 𝔽_{p}^{×} der von Null verschiedenen Elemente des Körpers 𝔽_{p} ist. (4)

20. (a) Für die Elemente

a = ( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) und c = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} )

der Gruppe GL(2, ℂ) zeige man:

ord(a) = 4, ord(b) = 4, ord (c) = 3, ord(bc) = ord(cb) = ∞. (4)

(b) Q_{8} =< a, b > heißt die Quaternionengruppe. Man zeige, daß

Q_{8} = {e, a, a^{2}, a^{3}, b, ba, ba^{2}, ba^{3}}

ist und daß die angegebenen Elemente wirklich paarweise verschieden sind. (4)

(c) Das Zentrum von Q_{8} ist {e, a^{2}}. (2)

Abgabe: Dienstag, 3.12.2002, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.