Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

13. Sei K ein Körper und p_{1}, p_{2} ∈ K[x] zwei von Null verschiedene Polynome. Wir benutzen p_{1} und p_{2} als Anfangsterme einer Folge von Polynomen, die folgendermaßen rekursiv definiert ist: Sind p_{n−1} und p_{n} bereits konstruiert und von Null verschieden, so sei p_{n+1} das nach Aufgabe 9 eindeutig bestimmte Polynom, das die Gleichung

p_{n−1} = p_{n}q_{n} + p_{n+1}

für ein Polynom q_{n}, und grad(p_{n+1}) < grad(p_{n}) erfüllt.

(a) Zeigen Sie, daß das Verfahren abbrechen muß und daß das letzte von Null verschiedene Polynom p_{m} sowohl ein Teiler von p_{1} als auch ein Teiler von p_{2} ist.

(b) Zeigen Sie, daß ein Polynom p, das sowohl ein Teiler von p_{1} als auch ein Teiler von p_{2} ist, auch das Polynom p_{m} teilen muß.

(c) Zeigen Sie, daß es Polynome p und q mit der Eigenschaft

pp_{1} + qp_{2} = p_{m}

gibt. (6)

14. Sei K ⊂ F eine endliche Körpererweiterung, a ∈ F und μ_{a} ∈ K[x] das Minimalpolynom von a. Sei p ∈ K[x] ein weiteres Polynom mit b := p(a) ≠ 0.

(a) Zeigen Sie, daß es Polynome r und s in K[x] mit der Eigenschaft rp + sμ_{a} = 1 gibt.

(b) Zeigen Sie, daß b^{−1} = r(a) ist.

(c) Drücken Sie das Inverse von \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} in ℚ[\sqrt[3]{2}] als Polynom in \sqrt[3]{2} aus. (4)

15. Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung.

(a) Zeigen Sie: Ist t ∈ F ein transzendentes Element, so sind auch t^{2} und t + 1 transzendent.

(b) Zeigen Sie: Ist t^{2} transzendent, so ist auch t transzendent.

(c) Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: Sind s, t ∈ F transzendent, so sind auch s + t und st transzendent. (4)

16. (a) Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Wir definieren eine

Abbildung

f̂: R[x] → S[x], p ↦ f̂(p)

durch die Vorschrift

f̂(a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}) = f(a_{n})x^{n} + f(a_{n−1})x^{n−1} + … + f(a_{2})x^{2} + f(a_{1})x + f(a_{0})

Zeigen Sie, daß f̂ ein Ringhomomorphismus ist.

(b) Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung und G ⊂ Aut(F/K) eine (nicht notwendig endliche) Untergruppe mit K = Fix(F, G). Sei p ∈ F [x] ein Polynom. Zeigen Sie, daß p genau dann bereits in K[x] liegt, wenn σ̂(p) = p für alle σ ∈ G gilt.

(c) Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung und G ⊂ Aut(F/K) eine (nicht notwendig endliche) Untergruppe mit K = Fix(F, G). Sei a ∈ F. Zeigen Sie, daß a genau dann algebraisch über K ist, wenn die Bahn {σ(a) | σ ∈ G} endlich ist. (6)

Abgabe: Dienstag, 26.11.2002, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.