Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

9. Sei K ein Körper.

(a) Seien p und q Polynome mit Koeffizienten in K. Zeigen Sie, daß es Polynome r und s gibt, so daß grad(r) < grad(q) und

p = qs + r

Dabei benutzen wir die Konvention, daß das Nullpolynom den Grad −∞ hat.

(b) Zeigen Sie, daß ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in K höchstens n Nullstellen besitzen kann.

(c) Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung. Sei p ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in K, daß in F die verschiedenen Nullstellen x_{1}, x_{2}, …, x_{n} besitzt. Zeigen Sie: Liegen x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} in K, so liegt auch x_{n} in K. (4)

10. Sei K ein Körper. Einem Polynom p ∈ K[x] ordnen wir die Polynomab-

bildung

K → K, a ↦ p(a)

zu. Auf diese Weise entsteht ein Ringhomomorphismus

Φ : K[x] → Abb(K, K)

Zeigen Sie: Φ ist genau dann injektiv, wenn K unendlich viele Elemente enthält. (4)

11. Sei ζ = \frac{1}{2}(−1 + i\sqrt{3}) und K = ℚ[\sqrt[3]{2}, ζ].

(a) Bestimmen Sie eine Basis von K über ℚ.

(b) Zeigen Sie, daß es einen Körperautomorphismus σ von K mit σ(\sqrt[3]{2}) = ζ\sqrt[3]{2} gibt.

(c) Zeigen Sie: Aut(K/ℚ) ≅ S_{3}.

(d) Zeigen Sie, daß ℚ ⊂ K galoissch ist.

(e) Zeigen Sie: K = ℚ[ζ + \sqrt[3]{2}] (6)

12. Sei K ⊂ F eine galoissche Körpererweiterung, deren Galoisgruppe zur alternierenden Gruppe A_{4} isomorph ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Zwischenkörper K ⊂ L ⊂ F mit [L : K] = 3. Entscheiden Sie für jeden solchen Zwischenkörper, ob die Erweiterung K ⊂ L galoissch ist. (6)

Abgabe: Dienstag, 12.11.2002, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.