Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

5. Zeigen Sie, daß die Körpererweiterung ℚ ⊂ ℚ + ℚ\sqrt[3]{2} + ℚ\sqrt[3]{4} nicht galoissch ist. (3)

6. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung vom Grad 2. In K gelte 1 + 1 ≠ 0.

(a) Sei a ∈ L \ K. Zeigen Sie, daß a^{2} eine Linearkombination von 1 und a über K ist.

(b) Finden Sie ein Element b ∈ L \ K mit b^{2} ∈ K.

(c) Zeigen Sie, daß es ein σ ∈ Aut(L/K) mit σ(b) = −b gibt.

(d) Zeigen Sie, daß L/K galoissch ist.

(e) Sei ζ := \frac{1}{2}(−1+i\sqrt{3}). Zeigen Sie, daß ℚ ⊂ ℚ+ℚζ galoissch ist. (6)

7. Zeigen Sie:

(a) Wenn ℚ ⊂ L ⊂ ℂ ein Zwischenkörper mit \sqrt{2}, \sqrt{3} ∈ L ist, dann ist [L : ℚ] ≥ 4.

(b) Es gibt einen Zwischenkörper ℚ ⊂ K ⊂ ℂ mit \sqrt{2}, \sqrt{3} ∈ K und [K : ℚ] = 4.

(c) Bestimmen Sie Aut(K/ℚ). Ist K/ℚ galoissch?

(d) Bestimmen Sie Fix(G) für jede Untergruppe G ⊂ Aut(K/ℚ). (5)

8. Wir betrachten ℚ^{3} als Ring mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation. Zeigen Sie:

(a) Es gibt genau einen Ringhomomorphismus ι : ℚ → ℚ^{3}.

(b) ι ist injektiv. (Daher können wir im folgenden ℚ als Unterring von ℚ^{3} auffassen.)

(c) Bestimmen Sie die Gruppe Aut(ℚ^{3}) aller Ringautomorphismen von ℚ^{3}. (Hinweis: Die kanonischen Basisvektoren e_{1}, e_{2}, e_{3} von ℚ^{3} erfüllen e_{i}e_{j} = δ_{ij}e_{i}.)

(d) Zeigen Sie, daß es eine echte Untergruppe G von Aut(ℚ^{3}) mit Fix(G) = ℚ gibt.

(e) Sind für jede Gruppe G die Gruppenhomomorphismen von G in die Gruppe U(ℚ^{3}) der (multiplikativ) invertierbaren Elemente von ℚ^{3} linear unabhängig über ℚ? (6)

Abgabe: Dienstag, 5.11.2002, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.