Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

1. (a) Zeigen Sie, daß K := ℚ + ℚ\sqrt{2} ein Unterkörper von ℝ ist.

(b) Zeigen Sie, daß ℚ ⊂ K eine galoissche Körpererweiterung ist. (5)

2. Zeigen Sie:

(a) Der von 1, \sqrt[3]{2} und \sqrt[3]{4} aufgespannte ℚ-Unterraum L von ℝ ist sogar ein Unterring von ℝ.

(b) Für ein von Null verschiedenes Element x ∈ L ist die Abbildung

L → L, y ↦ xy

ein injektiver Vektorraumhomomorphismus.

(c) L ist sogar ein Körper. (5)

3. (a) Seien ℚ ⊂ K und ℚ ⊂ L Körpererweiterungen. Wenn σ : K → L ein Körperhomomorphismus ist, dann ist σ sogar ein ℚ-Körper-homomorphismus.

(b) Zeigen Sie: Aut(ℚ) = {id} (5)

4. (a) Sei σ ∈ Aut(ℝ/ℚ). Zeigen Sie, daß für reelle Zahlen r und s aus r < s auch σ(r) < σ(s) folgt.

(b) Zeigen Sie: Aut(ℝ) = {id}

(Hinweis: Die nichtnegativen reellen Zahlen sind gerade diejenigen, die als Quadrate geschrieben werden können.) (5)

Abgabe: Dienstag, 29.10.2002, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.