Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

3. Klausur

1. Definieren Sie, wann eine Körpererweiterung normal heißt. (2)

2. Zeigen Sie, daß es keinen Integritätsring mit 51 Elementen gibt. (4)

3. Sei F ein Körper mit 27 Elementen und K sein Primkörper.

(a) Zeigen Sie, daß K ⊂ F galoissch ist.

(b) Zeigen Sie, daß jedes irreduzible Polynom vom Grad 3 über K separabel ist.

(Hinweis: Betrachten Sie den Frobeniusautomorphismus φ : F → F, u ↦ u^{3}.) (4)

4. Sei R ein Integritätsring. Zeigen Sie, daß zwei Ringelemente a und b genau dann ein kleinstes gemeinsames Vielfaches besitzen, wenn (a) ∩ (b) ein Hauptideal ist. (4)

Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem getrennten Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe.