Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

2. Klausur

1. Definieren Sie, was eine Linkskongruenzrelation ist. (2)

2. Zeigen Sie, daß eine Untergruppe vom Index 2 normal ist. (Hinweis: Vergleichen Sie die Links- und die Rechtsnebenklassen der Untergruppe.) (4)

3. Entscheiden Sie (durch einen mathematischen Beweis), ob die symmetrische Gruppe S_{4} eine Untergruppe enthält, die isomorph zur Quaternionengruppe Q_{8} ist. (Hinweis: Wie wir u. a. aus Aufgabe 20 wissen, kann man Q_{8} durch Erzeugende und Relationen folgendermaßen beschreiben: Q_{8} wird von Elementen a und b erzeugt, die den Relationen

a^{4} = 1 b^{4} = 1 ab = ba^{3}

genügen. Dabei ist a^{2} ≠ 1 ≠ b^{2}.) (4)

4. Zeigen Sie, daß es keine einfache Gruppe der Ordnung 56 gibt. (4)

Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem getrennten Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe.