Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

1. Klausur

1. Formulieren Sie den Satz von Dedekind. (2)

2. (a) Bestimmen Sie über dem Körper 𝔽_{3} alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad 2.

(b) Zeigen Sie, daß es einen Körper mit 9 Elementen gibt.

(c) Zeigen Sie, daß das Polynom x^{5} + 2x^{3} + 2x^{2} + 2 über 𝔽_{3} irreduzibel ist.

(d) Zeigen Sie, daß es einen Körper mit 8 Elementen gibt. (4)

3. (a) Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung und σ : F → F ein K-Automorphismus. Für zwei algebraische Elemente u, v ∈ F gelte: σ(u) = v. Zeigen Sie, daß u und v über K dasselbe Minimalpolynom haben.

(b) Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung und seien u, v ∈ F zwei algebraische Elemente mit demselben Minimalpolynom. Zeigen Sie: K(u) ≅ K(v) (4)

4. Sei K ⊂ F eine galoissche Körpererweiterung mit Aut(F/K) ≅ S_{4}.

(a) Zeigen Sie, daß für alle σ ∈ S_{4} die Formel σ ∘ (1, 2) ∘ σ^{−1} = (σ(1), σ(2)) gilt.

(b) Zeigen Sie, daß (1, 2)(3, 4) ∈ S_{4} die Ordnung 2 hat.

(c) Zeigen Sie, daß es in S_{4} zwei nicht konjugierte Untergruppen der Ordnung 2 gibt.

(d) Zeigen Sie, daß es zwei nicht konjugierte Zwischenkörper L_{1} und L_{2} von K ⊂ F gibt, die beide den Grad 12 über K haben. (4)

Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem getrennten Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe.