Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Seien m und n ganze Zahlen und g der größte gemeinsame Teiler von m und n. Wir können also ganze Zahlen m′ und n′ mit m = gm′ und n = gn′ finden. Zeigen Sie, daß

ℤ_{g} → Hom(ℤ_{m}, ℤ_{n}), k̄ ↦ (l̄↦ \overline{kln′})

ein Gruppenisomorphismus ist.

(Hinweis: Überlegen Sie sich, daß n′ und m′ teilerfremd sind, und daß daraus folgt, daß sich, wie in Aufgabe 40 auf Blatt 10 im WS 00/01, 1 durch n′ und m′ ausdrücken läßt.) (5)

2. Sei f ein Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes V. Dann kann V mit Hilfe von f zu einem Modul über dem Polynomring K[x] gemacht werden. Zeigen Sie, daß f genau dann diagonalisierbar ist, wenn V als K[x]-Modul direkte Summe von Untermoduln ist, die gleichzeitig eindimensionale Unterräume sind. (5)

3. Seien f und g zwei diagonalisierbare Endomorphismen des endlichdimensionalen Vektorraumes V. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) f und g kommutieren, d. h. f ∘ g = g ∘ f.

(b) f und g sind gleichzeitig diagonalisierbar, d. h. es gibt eine Basis von V, die aus Eigenvektoren von sowohl f als auch g besteht.

(5)

4. Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus von V heißt normal, falls er mit seiner adjungierten Abbildung kommutiert, d. h. falls f ∘ f^{ad} = f^{ad} ∘ f gilt. Zeigen Sie, daß f genau dann normal ist, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f gibt.

(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß f und f^{ad} denselben Kern haben, und überlegen Sie dann, was das für die Eigenräume von f und f^{ad} bedeutet.) (5)

Abgabe: Mittwoch, 11.7.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.