Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Betrachten Sie die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & −2 \\ 1 & −2 & 1 \end{matrix})

mit reellen Einträgen. Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix O, für die O^{T} AO eine Diagonalmatrix ist. (5)

2. Geben Sie die Matrizen D_{x} und D_{y} an, die im ℝ^{3} die Drehung um \frac{π}{6} um die x-Achse bzw. die y-Achse beschreiben. Geben Sie die Matrix an, die die Komposition der beiden Drehungen beschreibt, wobei zuerst um die x-Achse und dann um die y-Achse gedreht wird. Bestimmen Sie die Drehachse der Komposition. (5)

3. Betrachten Sie die Abbildung

ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}^{2} − 5x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})

so daß für y_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} und y_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} gilt:

x_{1}^{2} − 5x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = \frac{7}{2}y_{1}^{2} − \frac{3}{2}y_{2}^{2}

(4)

4. Sei A ∈ GL(n, ℝ) eine invertierbare Matrix mit reellen Einträgen. Zeigen Sie, daß sich A als Produkt A = ODN schreiben läßt, wobei O eine orthogonale Matrix, D eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen auf der Diagonalen, und N eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen ist.

(Hinweis: Wenden Sie das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf die Spaltenvektoren von A an. Dabei entsteht eine Orthonormalbasis, die aus den Spalten der benötigten Matrix O besteht. Die Diagonalmatrix entspricht dem Normierungsschritt im Gram-Schmidt-Verfahren. Die obere Dreiecksmatrix entspricht den Koeffizienten, die beim Übergang von der einen zur anderen Basis auftreten. Diese Zerlegung wird als Iwasawa-Zerlegung bezeichnet.) (6)

Abgabe: Mittwoch, 4.7.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.