Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Seien

A_{1} := (\begin{matrix}−2 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix}) A_{2} := (\begin{matrix}2 & −i & 1 − i \\ i & 2 & 1 \\ 1 + i & 1 & 2 \end{matrix})

A_{3} := (\begin{matrix}2 & i & 4 − 3i \\ −i & 2 & −6 − 2i \\ 4 + 3i & −6 + 2i & 26 \end{matrix})

Welche dieser Matrizen definieren mit

ℂ_{3} × ℂ_{3} ∋ (x, y) ↦ \overline{x}^{T} A_{i}y ∈ ℂ

eine positiv definite Bilinearform?

(5)

2. Zeigen Sie, daß

ℝ_{3} × ℝ_{3} ∋ (x, y) ↦ ⟨x, y⟩ := x^{T} Ay ∈ ℝ

mit

A = (\begin{matrix}2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})

ein Skalarprodukt ist. Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarprodukt die adjungierte Abbildung zu

f : ℝ_{3} ∋ x ↦ Bx ∈ ℝ_{3}

mit

B = (\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

3. Sei A eine reelle n × n-Matrix. Zeigen Sie, daß A mindestens einen reellen Eigenwert besitzt, wenn n ungerade ist. (Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz. Diskutieren Sie sorgfältig, warum er anwendbar ist.) (5)

4. Sei V = Abb(ℝ, ℝ) der Vektorraum der reellwertigen Funktionen. Wir definieren eine lineare Abbildung

F : V → V, f ↦ F (f)

indem wir setzen: F (f)(x) := f(−x). Zeigen Sie, daß 1 und −1 die einzigen Eigenwerte von F sind, daß beide Eigenwerte vorkommen und daß V die direkte Summe der zugehörigen Eigenräume ist. (Hinweis: Sie brauchen nicht zu zeigen, daß F linear ist.) (5)

Abgabe: Mittwoch, 13.6.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.