Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Seien i, j ≤ n. Die Permutation τ_{ij}, die durch

τ_{ij}(k) = \begin{cases}j : k = i \\ i : k = j \\ k : k ≠ i, j \end{cases}

heißt die Transposition von i und j. Im Falle j = i + 1 spricht man von einer Nachbartransposition.

(a) Zeigen Sie, daß jede Transposition die Parität −1 besitzt.

(b) Zeigen Sie, daß sich jede Permutation als Produkt von Nachbartranspositionen schreiben läßt. (6)

2. Betrachten Sie die Matrix

(\begin{matrix}cos(α) & − sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{matrix})

(a) Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen α, für die diese Matrix einen reellen Eigenwert besitzt.

(b) Bestimmen Sie die komplexen Eigenwerte dieser Matrix. (6)

3. Sei K = ℤ_{5} der Körper mit 5 Elementen. Betrachten Sie die 3 × 3-Matrix

(\begin{matrix}2 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix})

mit Einträgen aus K. Bestimmen Sie die Eigenwerte dieser Matrix sowie jeweils die algebraische und die geometrische Vielfachheit. (Hinweis: Ein Eigenwert ist 4.) (6)

4. Sei V der Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen von ℝ nach ℝ, der von den Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) erzeugt wird. Entscheiden Sie, ob die Basis

− sin(x), − cos(x), − tan(x)

dieselbe Orientierung besitzt wie die Basis

sin(x), cos(x), tan(x)

(Hinweis: Sie brauchen nicht zu zeigen, daß es sich hierbei um Basen handelt.) (2)

Abgabe: Mittwoch, 6.6.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.