Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Betrachten Sie die folgenden Vektoren im ℚ^{4}:

v_{1} = (1, 0, 0, 1) v_{2} = (0, 1, 1, 0)
u_{1} = (1, 0, 0, 0) u_{2} = (0, 0, 0, 1)
w_{1} = (0, 1, 0, 0) w_{2} = (0, 0, 1, 0)

Sei U der von u_{1} und u_{2} erzeugte Unterraum, W der von w_{1} und w_{2} erzeugte Unterraum. Entscheiden Sie, ob es einen Endomorphismus f von ℚ^{4} gibt, für den die Abbildung

f̄: ℚ^{4}/U → ℚ^{4}/W, v̄ ↦ \overline{f(v)}

wohldefiniert ist und der die Restklasse von v_{1} modulo U auf die Restklasse von v_{1} modulo W und die Restklasse von v_{2} modulo U auf die Restklasse von v_{2} modulo W abbildet. (6)

2. (a) Sei V ein Vektorraum und p : V → V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft p^{2} = p. Zeigen Sie, daß

V = Ke(p) ⊕ Bi(p)

ist.

(b) Zeigen Sie, daß die Matrix

\frac{1}{3} (\begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})

die Bedingung p^{2} = p erfüllt. Bestimmen Sie Kern und Bild. Stellen Sie Kern und Bild in einer Zeichnung graphisch dar und erklären Sie anhand des Bildes, wie die Abbildung wirkt.

3. Bringen Sie die Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 & 1 \\ 2 & −1 & −1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & −1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})

mit rationalen Einträgen durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Bestimmen Sie den Rang der Matrix. (Hinweis: Erklären Sie bitte, welche Umformungen Sie vornehmen, so daß Ihre Rechnungen für andere nachvollziehbar sind.) (4)

4. Invertieren Sie die Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \\ 1 & −1 & 0 & 1 \end{matrix})

mit rationalen Einträgen durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen. (4)

Klausurtermine:

1. Klausur: Freitag, 25.5.2001, 14.00 Uhr, E 51

1. Klausur: Freitag, 22.6.2001, 14.00 Uhr, E 51

1. Klausur: Freitag, 20.7.2001, 14.00 Uhr, E 51

Abgabe: Mittwoch, 16.5.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.