Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Seien U und W Unterräume des Vektorraumes V. Es gelte W ⊂ U. Zeigen Sie, daß U/W ein Unterraum des Faktorraumes V/W ist. Zeigen Sie den 2. Isomorphiesatz

(V/W)/(U/W) ≅ V/U

indem Sie den Homomorphiesatz auf eine kanonische Abbildung von V/W nach V/U anwenden. (6)

2. Sei (V, A) ein affiner Raum. GL(V) sei die Gruppe der Automorphismen von V. Ist p_{0} ∈ A fest gegeben, so sei für v ∈ V und f ∈ GL(V) die Abbildung A_{v,f} definiert durch

A_{v,f} : A → A, p ↦ v + f(p − p_{0}) + p_{0}

(a) Zeigen Sie, daß jede Affinität von der Form A_{v,f} ist, und daß dabei v und f eindeutig bestimmt sind. Zeigen Sie weiter:

A_{v,f} ∘ A_{w,g} = A_{v+f(w),f∘g}

(b) Zeigen Sie, daß durch die Verknüpfung

(V × GL(V)) × (V × GL(V)) → V × GL(V)
((v, f), (w, g)) ↦ (v + f(w), f ∘ g))

auf V × GL(V) eine Gruppenstruktur eingeführt wird. Zeigen Sie weiter, daß die Abbildung

V × GL(V) → Bij(A), (v, f) ↦ A_{v,f}

ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

3. Sei (V, A) ein affiner Raum mit n-dimensionalem Translationsraum. Zeigen Sie, daß für Punkte p_{0}, …, p_{n} folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) p_{0}, …, p_{n} bilden ein affines Bezugssystem von A.

(b) Für jeden affinen Raum (W, B) und je n+1 Punkte q_{0}, …, q_{n} ∈ B existiert genau eine affine Abbildung g : A → B, so daß für alle i = 0, …, n die Gleichung g(p_{i}) = q_{i} gilt.

(4)

4. (a) Sind U_{1} und U_{2} Unterräume des Vektorraumes V, so heißt V die innere direkte Summe von U_{1} und U_{2}, falls einerseits V = U_{1} + U_{2} ist und andererseits U_{1} ∩ U_{2} = {0} gilt. Zeigen Sie, daß in dieser Situation die Abbildung

f : U_{1} → V/U_{2}, u ↦ ū

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

(b) Sei U ein Unterraum des Vektorraumes V. Zeigen Sie, daß V isomorph zur äußeren direkten Summe U ⊕ V/U ist. (4)

Abgabe: Mittwoch, 9.5.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.