Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Ferienblatt Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Es sei {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} eine Menge von Vektoren eines Vektorraums über einem Körper, der nicht die Charakteristik 2 hat. Ein weiterer Vektor sei y. Zeigen Sie: Sind die Mengen von Vektoren

{x_{1} + y, x_{2} + y, …, x_{n} + y} und {x_{1} − y, x_{2} − y, …, x_{n} − y}

linear abhängig, so ist auch {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} linear abhängig.

2. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und U ⊂ V ein echter Untervektorraum. Bestimmen Sie alle Untervektorräume W ⊂ V, welche V \ U enthalten.

3. Im affinen Raum V = ℝ^{4} seien folgende vier Punkte gegeben:

v_{1} = (\begin{matrix}3 \\ −4 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}3 \\ −2 \\ −10 \\ 0 \end{matrix}) , v_{3} = (\begin{matrix}2 \\ 0 \\ −3 \\ 2 \end{matrix}) , v_{4} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Dimension der affinen Hülle L von {v_{1}, …, v_{4}}. (Die affine Hülle L ist der kleinste affine Unterraum von V, der {v_{1}, …, v_{4}} enthält.)

(b) Bestimmen Sie den Durchschnitt von L mit der durch die Gleichung 4x_{1} + x_{2} + x_{3} − 2x_{4} = −6 gegebenen Hyperebene H.

4. Gegeben sind die Vektorräume und linearen Abbildungen

V ⟶^{α} W ⟶^{β} V

mit β ∘ α = id_{V}. Bestimmen Sie alle Eigenwerte, die für α ∘ β möglich sind.

5. Sei V ein endlichdimensionaler und W ein von 0 verschiedener endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und sei Hom_{K}(V, W) der Vektorraum der linearen Abbildungen V → W. Ein Endomorphismus α : V → V induziert den Endomorphismus

α^{∗} : Hom_{K}(V, W) → Hom_{K}(V, W), f ↦ f ∘ α

Zeigen Sie: α^{∗} hat die gleichen Eigenwerte wie α.

Hinweis: Wie steht es für W ≅ K?

6. In ℝ^{4} seien die Vektoren

a_{1} = (1, 1, 1, 1), a_{2} = (1, 2, 2, −1), a_{3} = (0, 1, 1, −2) und
x = (4, −1, −3, 4)

gegeben. Sei P die Orthogonalprojektion (bzgl. des Standard-Skalar-produkts in ℝ^{4}) auf den von a_{1}, a_{2}, a_{3} erzeugten Unterraum U.

(a) Bestimmen Sie y := P x.

(b) Geben Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von P an.

7. (a) Zeigen Sie, daß durch die linearen Gleichungssysteme

X_{1} − 2X_{2} + X_{3} = 0
X_{1} + X_{2} − X_{3} = 1

und

X_{1} + 2X_{2} + X_{3} = 0
2X_{1} + 3X_{2} + X_{3} = 0

zwei windschiefe Geraden g_{1} bzw. g_{2} in ℝ^{3} gegeben werden.

(b) Bestimmen Sie den Abstand von g_{1} und g_{2}.

(c) Bestimmen Sie den Cosinus des Winkels zwischen g_{2} und einer zu g_{1} parallelen Gerade durch den Ursprung.

8. Es sei die reelle Matrix

A(a) = (\begin{matrix}1 & 1 & 3 + a \\ 0 & 3 & a − 1 \\ 0 & 0 & 2 + a \end{matrix})

vorgegeben.

(a) Geben Sie die Jordansche Normalform von A(a) in Abhängigkeit von a an.

(b) Geben Sie die A(3)-invarianten eindimensionalen Teilräume an.

9. Bestimmen Sie die Jordansche Normalform einer reellen (n×n)-Matrix, deren sämtliche Zeilen gleich (1, 2, …, n) sind.

10. Es sei für einen Endomorphismus A : ℝ^{7} → ℝ^{7} das Minimalpolynom μ(λ) = λ^{3}.

(a) Welche Dimension kann der Kern von A haben?

(b) Man gebe für jede mögliche Dimension von Kern A alle Jordanschen Normalformen von A an.