Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

1. Seien U und W Unterräume des Vektorraumes V. Zeigen Sie den 1. Iso-

morphiesatz

U/(U ∩ W) ≅ (U + W)/W

indem Sie den Homomorphiesatz auf eine kanonische Abbildung von U nach V/W anwenden. (6)

2. Betrachten Sie die durch die Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & 2 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix})

beschriebene lineare Abbildung f von ℝ^{4} nach ℝ^{4}.

(a) Bestimmen Sie eine Basis von ℝ^{4}/ Ke(f).

(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der induzierten Abbildung

f̄: ℝ^{4}/ Ke(f) → ℝ^{4}

bezüglich der soeben konstruierten Basis des Faktorraumes und der kanonischen Basis von ℝ^{4}. (6)

3. Sei (V, A) ein affiner Raum mit n-dimensionalem Translationsraum. Zeigen Sie, daß für Punkte p_{0}, …, p_{n} folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) Die Vektoren p_{1} − p_{0}, p_{2} − p_{0}, …, p_{n} − p_{0} bilden eine Basis des Translationsraumes.

(b) Die Differenzen p_{i} − p_{j}, für i, j = 0, …, n, erzeugen den Translationsraum.

In diesem Fall heißen die Punkte p_{0}, …, p_{n} ein affines Bezugssystem von A. (4)

4. Seien (V, A) und (W, B) affine Räume.

(a) Zeigen Sie, daß der lineare Anteil einer affinen Abbildung eindeutig bestimmt ist, d. h., daß für zwei affine Abbildungen (f_{1}, g_{1}) und (f_{2}, g_{2}) gilt: Ist g_{1} = g_{2}, so ist f_{1} = f_{2}. (Daher ist es sinnvoll zu sagen, daß eine Abbildung g affin sei, ohne den linearen Anteil zu nennen.)

(b) Sei p_{0} ∈ A. Zeigen Sie, daß eine Abbildung g : A → B genau dann affin ist, wenn die Abbildung

f : V → W, v ↦ g(v + p_{0}) − g(p_{0})

linear ist.

(4)

Abgabe: Mittwoch, 2.5.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.