Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

33. Sei V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume von V, so daß sich jeder Vektor v ∈ V auf eindeutige Weise als Summe

v = u + w

mit u ∈ U und w ∈ W darstellen läßt. Sei B_{U} eine Basis von U und B_{W} eine Basis von W. Zeigen Sie, daß B_{U} ∩ B_{W} = ∅ ist und daß B_{U} ∪ B_{W} eine Basis von V ist. (5)

34. Sei f : V → V ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums. U ⊂ V sei ein Untervektorraum von V, der mit dem Bild von f nur den Nullvektor gemeinsam hat. Zeigen Sie:

dim(Ke(f)) ≥ dim(U)

(6)

35. Definiere

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (x/3 + 2y/3, x/3 + 2y/3)

(a) Zeigen Sie, daß f ∘ f = f ist.

(b) Bestimmen Sie Kern und Bild von f. Zeichnen Sie Ke(f) und Bi(f) in ein Koordinatenkreuz ein und beschreiben Sie anhand dieses Bildes die Abbildung f.

(4)

36. Sei K ein Körper mit q Elementen. Zeigen Sie, daß die Zahl der Basisfamilien von K^{n} durch

(q^{n} − 1)(q^{n} − q)(q^{n} − q^{2}) · . . . · (q^{n} − q^{n−1})

gegeben ist. (5)

Abgabe: Mittwoch, 17.1.2001, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.