Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

29. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. b_{1}, …, b_{n} sei eine Basis von V. Zeigen Sie:

(a) f ist genau dann surjektiv, wenn f(b_{1}), …, f(b_{n}) ein Erzeugendensystem von W ist.

(b) f ist genau dann injektiv, wenn f(b_{1}), …, f(b_{n}) linear unabhängig sind.

(6)

30. Sei K ein Körper. Eine Teilmenge G ⊂ K^{2} heißt (affine) Gerade, wenn es einen von Null verschiedenen Vektor (a, b) ∈ K^{2} und eine Zahl c ∈ K gibt, so daß

G = {(x, y) ∈ K^{2} | ax + by = c}

Zwei Geraden G_{1} und G_{2}, die durch die Vektoren (a_{1}, b_{1}) bzw. (a_{2}, b_{2}) gegeben sind, heißen parallel, wenn die Vektoren (a_{1}, b_{1}) und (a_{2}, b_{2}) linear abhängig sind. Zeigen Sie: Zwei nicht parallele Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst: Die Vektoren (a_{1}, b_{1}) und (a_{2}, b_{2}) sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren (a_{1}, a_{2}) und (b_{1}, b_{2}) linear unabhängig sind. Sie sind dann sogar erzeugend.) (7)

31. Bestimmen Sie jeweils eine Basis der folgenden Untervektorräume von ℝ^{3} bzw. ℝ^{4}:

U_{1} := Span({(1, 1, −1), (−1, −1, −1), (−1, −1, −3), (1, 1, −3)})
U_{2} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1} = x_{2}, x_{3} = −x_{4}}

Bestimmen Sie jeweils Elemente der kanonischen Basis, die zusammen mit den angegebenen Basen von U_{1} und U_{2} Basen von ℝ^{3} bzw. ℝ^{4} ergeben. (4)

32. Betrachten Sie folgende Vektoren im Vektorraum ℚ^{2}:

w_{1} = (1, 2) w_{2} = (2, 1) w_{3} = (1, −1)

Entscheiden Sie in den folgenden drei Fällen, ob es eine lineare Abbildung f : ℚ^{3} → ℚ^{2} mit der Eigenschaft f(v_{1}) = w_{1}, f(v_{2}) = w_{2} und f(v_{3}) = w_{3} gibt:

(a) v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (0, 0, 1)

(b) v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (−1, 1, 0)

(c) v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (1, 1, 0)

Entscheiden Sie in jedem dieser Fälle auch, ob eine solche lineare Abbildung durch diese Bedingung eindeutig bestimmt ist. (3)

Abgabe: Mittwoch, 10.1.2001, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.