Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

21. Sei G eine Gruppe. Für g ∈ G sei

L_{g} : G → G, h ↦ gh

die Linksmultiplikation mit g. Zeigen Sie, daß L_{g} bijektiv ist und daß die Abbildung

L : G → Bij(G, G), g ↦ L_{g}

ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. (Hinweis: Dieser Homomorphismus wird auch als Cayley-Darstellung bezeichnet. Er zeigt, daß jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph ist.) (5)

22. Sei G eine Gruppe und N ⊂ G ein Normalteiler. Für g ∈ G sei

K_{g} : N → N, n ↦ gng^{−1}

die Konjugation mit g.

(a) Zeigen Sie, daß K_{g} ein Automorphismus, also ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung

K : G → Aut(N), g ↦ K_{g}

ein Gruppenhomomorphismus in die Gruppe Aut(N) aller Automorphismen von N ist.

(c) Konstruieren Sie ein Beispiel für einen Normalteiler in einer Gruppe, für den die Abbildung K nicht injektiv ist. (6)

23. Eine Funktion f : ℝ → ℝ heißt gerade, wenn für alle x ∈ ℝ die Gleichung f(−x) = f(x) gilt. Sie heißt ungerade, wenn für alle x ∈ ℝ die Gleichung f(−x) = −f(x) gilt.

(a) Zeigen Sie, daß die Mengen F_{G} und F_{U} aller geraden bzw. aller ungeraden Funktionen Untervektorräume des Raumes Abb(ℝ, ℝ) aller Funktionen von ℝ nach ℝ sind.

(b) Zeigen Sie, daß jede Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden kann, und daß diese Darstellung eindeutig ist. (5)

24. Sei a ∈ ℝ eine reelle Zahl. Betrachte die Menge

V_{a} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | 2x_{1} − x_{2} − x_{3} = a}

Bestimmen Sie diejenigen Zahlen a ∈ ℝ, für die V_{a} ein Untervektorraum von ℝ^{3} ist. (4)

Abgabe: Mittwoch, 6.12.2000, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.