Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

17. Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen:

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)  (4)

18. Die Menge G := {1, −1} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe des Körpers ℚ der rationalen Zahlen. Betrachten Sie die Gruppenhomomorphismen

f : ℤ → ℤ, n ↦ 2n

und

g : ℤ → G, n ↦ (−1)^{n}

Zeigen Sie, daß f ein Kern von g ist. (Hinweis: Sie brauchen nicht zu beweisen, daß G eine Untergruppe und daß f und g Gruppenhomomorphismen sind.) (5)

19. (a) Finden Sie eine Abbildung von ℝ nach ℝ, die injektiv, aber nicht surjektiv ist. (2)

(b) Finden Sie eine Abbildung von ℝ nach ℝ, die surjektiv, aber nicht injektiv ist. (3)

(Hinweis: Benutzen Sie bei dieser Aufgabe Ihre Schulkenntnisse über die Menge der reellen Zahlen ℝ.)

20. Zeigen Sie den Satz von Cantor: Eine Menge läßt sich nicht surjektiv auf ihre Potenzmenge abbilden.

(Hinweis: Sei f : A → P(A) eine hypothetische surjektive Abbildung. Betrachten Sie die Menge {a ∈ A | a ∉ f(a)} und argumentieren Sie wie beim Russellschen Paradoxon.) (6)

Abgabe: Mittwoch, 29.11.2000, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Sprechstundenänderung: Tanja Hogger: Mi 13.00, Café Gumbel Astrid Tischer: Mi 13.00, Café Gumbel