Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

5. Zeigen Sie, daß für die Mengen A und B folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) A und B sind disjunkt.

(b) A \ B = A.

(c) B \ A = B. (5)

6. Seien A, B und C Mengen. Die symmetrische Differenz von A und B ist AΔB := (A ∪ B) \ (A ∩ B). Zeigen Sie:

(a) AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A)

(b) AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC (5)

7. Sei f : A → B eine Abbildung. A_{1} und A_{2} seien Teilmengen von A.

(a) Zeigen Sie: f(A_{1} ∪ A_{2}) = f(A_{1}) ∪ f(A_{2}), oder widerlegen Sie diese Gleichung anhand eines Gegenbeispiels.

(b) Zeigen Sie: f(A_{1} ∩ A_{2}) = f(A_{1}) ∩ f(A_{2}), oder widerlegen Sie diese Gleichung anhand eines Gegenbeispiels. (5)

8. Betrachten Sie die Abbildung

f : ℝ_{0}^{+} → ℝ_{0}^{+}, x ↦ x + 2

Zeigen Sie, daß es eine Abbildung g : ℝ_{0}^{+} → ℝ_{0}^{+} gibt, so daß gf = id_{ℝ_{0}^{+}} ist, und entscheiden Sie, ob eine solche Abbildung eindeutig ist. Zeigen Sie auch, daß es keine Abbildung g : ℝ_{0}^{+} → ℝ_{0}^{+} mit fg = id_{ℝ_{0}^{+}} gibt. (5)

Abgabe: Freitag, 3.11.2000, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.