Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Ferienblatt Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

45. Zeigen Sie, daß es einen Gruppenhomomorphismus f : ℤ/(3) → ℤ/(3) mit der Eigenschaft f(n̄) = n̄^{3} für alle n̄ ∈ ℤ/(3) gibt. (3)

46. Sei K ein Körper. Die Charakteristik von K ist die kleinste positive Zahl n mit der Eigenschaft, daß n1_{K} := 1_{K} + 1_{K} + … + 1_{K} = 0_{K} (n Summanden) gilt. Wenn es kein solches n gibt, sagt man, daß K die Charakteristik Null habe. Zeigen Sie, daß die Charakteristik von K eine Primzahl ist, sofern sie ungleich Null ist. (3)

47. Zeigen Sie, daß die Abbildung

f : ℝ/ℤ → ℂ^{∗}, x̄ ↦ e^{2πix}

ein wohldefinierter, injektiver Gruppenhomomorphismus ist, dessen Bild der Einheitskreis S^{1} ist.

(Hinweis: ℂ^{∗} bezeichnet die multiplikative Gruppe von ℂ; ℝ wird als additive Gruppe aufgefaßt. Bei der Lösung der Aufgabe kann die sog. Eulersche Formel

e^{ix} = cos(x) + i sin(x)

hilfreich sein, die Sie verwenden können.) (3)

48. Sei U ein Unterraum des endlichdimensionalen Vektorraumes V. Wir nennen den Unterraum

U^{⊥} := {φ ∈ V^{∗} | φ(u) = 0 für alle u ∈ U}

des Dualraums das orthogonale Komplement von U.

(a) Sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis von V mit der Eigenschaft, daß v_{1}, …, v_{m} eine Basis von U ist. Zeigen Sie, daß v_{m+1}^{∗}, …, v_{n}^{∗} eine Basis von U^{⊥} ist.

(b) Zeigen Sie: dim V = dim U + dim U^{⊥} (4)

49. Zeigen Sie, daß die Menge (X^{2} +1) := {p(X^{2} +1) | p ∈ ℝ[X]} ein Ideal in dem Polynomring ℝ[X] ist. Zeigen Sie weiter, daß die Abbildung

ℝ[X]/(X^{2} + 1) → ℂ, \overline{p(X)} ↦ p(i)

ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen und ein Isomorphismus von Körpern ist und daß (X^{2} + 1) ein maximales Ideal des Polynomrings ist. (4)

50. Ein Torus T ⊂ ℝ^{3} ist definiert als die Menge

T = \{( \begin{matrix}(2 + cos(φ)) cos(ψ) \\ (2 + cos(φ)) sin(ψ) \\ sin(φ) \end{matrix} ) ∈ ℝ_{3}|0 ≤ φ, ψ < 2π\}

(a) Betrachten Sie die Restklassengruppe T̃ := ℝ^{2}/ℤ^{2}. Geben Sie eine bijektive Abbildung f : T̃ → T an und bestimmen Sie die induzierte Gruppenstruktur auf T.

(b) Sei Q das (abgeschlossene) Quadrat

Q := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|0 ≤ x, y ≤ 1}

Zeigen Sie, daß man eine Äquivalenzrelation auf Q erhält, wenn man (x, y) ∼ (u, v) setzt, falls eine der folgenden Bedingungen vorliegt:

(i) x = u und y = v (ii) x = u und y = 0 und v = 1 (iii) x = u und y = 1 und v = 0 (iv) x = 0 und u = 1 und y = v

(v) x = 1 und u = 0 und y = v

Zeigen Sie, daß die Einbettung ι : Q ↪ ℝ^{2} eine Abbildung g : Q/∼ → ℝ^{2}/ℤ^{2} induziert und daß g bijektiv ist. Finden Sie einen Isomorphismus zwischen T und S^{1} × S^{1}. (6)

Abgabe: Mittwoch, 25.4.2001, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.