Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 11 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

41. Sei V ein Vektorraum über dem Körper ℚ der rationalen Zahlen mit der Basis v_{1}, v_{2}, v_{3}.

(a) Zeigen Sie, daß die Vektoren

v′_{1} = v_{1} + 2v_{2} v′_{2} = 2v_{1} + v_{2} v′_{3} = 2v_{3}

ebenfalls eine Basis von V bilden.

(b) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix von der Basis v_{1}, v_{2}, v_{3} auf die Basis v′_{1}, v′_{2}, v′_{3}.

(c) Sei f : V → V eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis v_{1}, v_{2}, v_{3} (in Bild- und Urbildraum) die darstellende Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

besitzt. Bestimmen Sie die darstellende Matrix bezüglich der Basis v′_{1}, v′_{2}, v′_{3}. (5)

42. Sei V ein Vektorraum über dem Körper ℚ der rationalen Zahlen mit der Basis v_{1}, v_{2}, v_{3}. Sei f : V → V eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis v_{1}, v_{2}, v_{3} (in Bild- und Urbildraum) die darstellende Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix})

besitzt. Bestimmen Sie Basen v′_{1}, v′_{2}, v′_{3} und v′′_{1}, v′′_{2}, v′′_{3} von V so, daß die darstellende Matrix bezüglich dieser Basen Normalform hat, d. h. daß außerhalb der Diagonale nur Nullen stehen und in der Diagonale zunächst nur Einsen und dann nur Nullen. (5)

43. Entscheiden Sie, ob es reelle Matrizen M und N mit MN = E_{2} und NM = E_{3} gibt. (Hinweis: E_{2} und E_{3} bezeichnen die Einheitsmatrizen der jeweiligen Größe. Welche Größe müssen M und N haben, damit man sie wie angegeben multiplizieren kann?) (5)

44. (a) Sei U eine Untergruppe der additiven Gruppe von ℤ. Zeigen Sie, daß es eine ganze Zahl n gibt, so daß U = nℤ ist, d. h. so daß U gerade aus den Vielfachen von n besteht.

(b) Seien n und m zwei ganze Zahlen. Zeigen Sie, daß

U := {am + bn | a, b ∈ ℤ}

eine Untergruppe von ℤ ist. Zeigen Sie weiter, daß U = tℤ für den größten gemeinsamen Teiler t von m und n ist.

(Hinweis: Benutzen Sie die Division mit Rest für ganze Zahlen, die in Aufgabe 40 für Polynome verwendet wurde. Beachten Sie, daß der größte gemeinsame Teiler nur bis auf das Vorzeichen eindeutig ist, wir verwenden den positiven.) (5)

Abgabe: Mittwoch, 31.1.2001, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.