Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 10 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

37. Sei V = Span(1, x, x^{2}, …, x^{n}) der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n über dem Körper K. Die formale Ableitung ist der durch

D(∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}) := ∑_{k=1}^{n} ka_{k}x^{k−1}

definierte Endomorphismus D von V. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von D bezüglich der Basis 1, x, x^{2}, …, x^{n}. (Hinweis: Hier und im folgenden brauchen Sie nicht zu beweisen, daß die angegebenen Abbildungen linear sind, daß ihre Definitions- und Wertebereiche Vektorräume sind, und daß es sich bei den angegebenen Vektoren wirklich um Basen handelt.)

(5)

38. Die Unterräume

V := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}
W := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) | x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0}

von ℚ_{3} bzw. ℚ_{4} haben die Basen

(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) bzw. (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})

Zeigen Sie, daß die lineare Abbildung

f : ℚ_{3} → ℚ_{4}, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ (x_{1}, x_{2}, \frac{x_{3}}{2} , \frac{x_{3}}{2} )

den Unterraum V in den Unterraum W abbildet, und bestimmen Sie die darstellende Matrix der entstehenden linearen Abbildung bezüglich der angegebenen Basen. (Hinweis: Aus Platzgründen wurden zur Definition von V, W und f Zeilenvektoren verwendet. Bitte arbeiten Sie mit Spaltenvektoren.) (4)

39. Betrachten Sie die Matrix A := (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}). Durch die Matrizenmultipli-

kation erhalten wir eine lineare Abbildung

L : K_{2}^{2} → K_{2}^{2}, B ↦ AB

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von L bezüglich der Basis

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

aus sog. Matrixeinheiten. (5)

40. Seien p, q ∈ K[x] zwei Polynome mit Koeffizienten in dem Körper K. Wir nehmen an, daß grad(p) ≥ grad(q) ist. Wir definieren folgendermaßen eine Folge von Polynomen: Wir setzen p_{1} = p und p_{2} = q. Sind p_{n} und p_{n+1} mit grad(p_{n}) ≥ grad(p_{n+1}) schon definiert, so sei p_{n+2} der bei der Division von p_{n} durch p_{n+1} auftretende Rest:

p_{n} = a_{n}p_{n+1} + p_{n+2}, grad(p_{n+1}) > grad(p_{n+2})

Das Verfahren endet, wenn bei einer dieser Divisionen der Rest Null auftritt. Zeigen Sie, daß das letzte auftretende Polynom, das nicht Null ist, ein größter gemeinsamer Teiler von p und q ist, also ein Teiler von p und q, der von jedem anderen gemeinsamen Teiler geteilt wird. (Hinweis: Das hier beschriebene Verfahren ist der sog. euklidische Algorithmus. Überlegen Sie sich, daß ein Teiler t von p und q, der in der Form t = ap + bq darstellbar ist, ein größter gemeinsamer Teiler sein muß. Begründen Sie auch kurz, warum das Verfahren überhaupt abbricht.) (6)

Abgabe: Mittwoch, 24.1.2001, 12.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.