Mathematisches Institut der Universität München

Prof. Dr. B. Pareigis

SS 2000 Blatt 11

Übungen zu Einführung in die Kategorientheorie

Aufgabe 41. (1) Ein Gruppenhomomorphismus f : G ⟶ H ist eine Abbildung

mit f(g_{1}g_{2}) = f(g_{2}), (∀g_{1}, g_{2} ∈ G).

Zeigen Sie: f erhält das neutrale Element und inverse Elemente.

(2) Finden Sie zwei Monoide M und N und eine Abbildung f : M ⟶ N, die f(g_{1}g_{2}) = f(g_{1})f(g_{2})(∀g_{1}, g_{2} ∈ M) erfüllt, die aber nicht das neutrale Element erhält.

Aufgabe 42. Gruppen in Gr, der Kategorie der Gruppen, sind genau die abelschen Gruppen.

Aufgabe 43. Bestimmen Sie die Struktur einer Kogruppe auf einer abelschen Gruppe A aus der Tatsache, daß Hom(A, B) für alle abelschen Gruppen B eine abelsche Gruppe ist.

Aufgabe 44. (1) In der Kategorie der kommutativen Algebren ist das Tensorprodukt A ⊗ B von zwei Algebren (mit der üblichen Addition und der Multiplikation (∑ a_{i} ⊗ b_{i})(∑ c_{j} ⊗ d_{j}) = ∑ a_{i}c_{j} ⊗ b_{i}d_{j}) das Koprodukt.

(2) Für eine kommutative Algebra A sei G_{a}(A) := {a ∈ A}. Zeigen Sie: G_{a} : kommAlg ⟶ Me ist ein darstellbarer kovarianter Funktor.

(3) Sei G das darstellende Objekt von G_{a}. Zeigen Sie: G ist eine Kogruppe in der Kategorie der kommutativen Algebren mit der Addition auf G_{a}(A) als Gruppenoperation.

(4) Bestimmen Sie Δ : G ⟶ G ⊗ G, ε : G ⟶ K und S : G ⟶ G. (Bem: (G, Δ, ε, S) ist ein Beispiel für eine kommutative und kokommutative Hopfalgebra.)

Abgabe: Dienstag, 18. Juli 2000 in der Vorlesung