Mathematisches Institut der Universität München

Prof. Dr. B. Pareigis

SS 2000 Blatt 7

Übungen zu Einführung in die Kategorientheorie

Aufgabe 25. In Vek und in Gr gibt es beliebige kategorielle Produkte.

Aufgabe 26. Zeigen Sie: In der Kategorie aller Körper gibt es im allgemeinen keine kategoriellen Produkte. Es gilt jedoch ℚ × ℚ ≅ ℚ.

Aufgabe 27. Sei _{R}M ein R-Linksmodul. Zeigen Sie:

(1) Für jede abelsche Gruppe A ist Hom(M, A) ein R-Rechtsmodul vermöge der Multiplikation (fr)(m) := f(rm).

(2) Hom(M, -) : Ab ⟶ Mod -R ist ein kovarianter Funktor.

(3) Der Funktor Hom(M, -) besitzt einen linksadjungierten Funktor - ⊗_{R} M : Mod -R ⟶ Ab.

Aufgabe 28. Sei C = Top die Kategorie der topologischen Räume mit stetigen Abbildungen als Morphismen.

(1) Sei (X_{i}|i ∈ I) eine Familie von topologischen Räumen, sei X eine Menge und seien f_{i} : X ⟶ X_{i} Abbildungen. Zeigen Sie: es gibt genau eine Topologie T auf X, so

(a) daß die Abbildungen f_{i} : X ⟶ X_{i} stetig sind und

(b) daß für jeden topologischen Raum Y und jede Abbildung f : Y ⟶ X diese Abbildung f genau dann stetig ist, wenn alle f_{i} ∘ f stetig sind.

(2) In Top gibt es zu jeder Familie von topologischen Räumen (X_{i}|i ∈ I) ein kategorielles Produkt ∏_{i∈I} X_{i}.

Abgabe: Dienstag, den 20.06.2000 11:15 Uhr in der Vorlesung