Mathematisches Institut der Universität München

Prof. Dr. B. Pareigis

SS 2000 Blatt 6

Übungen zu Einführung in die Kategorientheorie

Aufgabe 21. (1) Ein Monoid M heißt rechts kürzbar, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt: aus ac = bc folgt a = b. Jede Gruppe kann als rechts und links kürzbares Monoid angesehen werden. Zeigen Sie, daß es zu jedem kommutativen kürzbaren Monoid M eine abelsche Gruppe Q(M) und einen Monoidhomomorphismus ι : M ⟶ Q(M) so gibt, daß zu jeder abelschen Gruppe A und zu jedem Monoidhomomorphismus f : M ⟶ A genau ein Gruppenhomomorphismus f̄ : Q(M) ⟶ A so existiert, daß das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: M; Q(M); ι; A; f; f̄]

(Hinweis: Vgl. Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen.)

(2) Zeigen Sie, daß es zu jedem kommutativen Monoid M eine abelsche Gruppe Q(M) und einen Monoidhomomorphismus ι : M ⟶ Q(M) so gibt, daß zu jeder abelschen Gruppe A und zu jedem Monoidhomomorphismus f : M ⟶ A genau ein Gruppenhomomorphismus f̄: Q(M) ⟶ A so existiert, daß f = f̄ι gilt.

Aufgabe 22. Sei V : Top ⟶ Me der Vergißfunktor. Für X ∈ Me sei Dis(X) := (X, P(X)) der diskrete topologische Raum auf X. Zeigen Sie: Ist (Y, T) ein beliebiger topologischer Raum und f : X ⟶ Y eine Mengenabbildung, so ist f : Dis(X) ⟶ (Y, T) stetig, d.h. es gibt genau einen Morphismus f̄ : Dis(X) ⟶ (Y, T) in Top mit f = V(f̄) = V(f̄) id_{X}.

Aufgabe 23. Sei A eine (additive) abelsche Gruppe. Sei

Tor(A) := {a|a ∈ A und es gibt n ∈ ℕ, n ≠ 0 mit na = 0},

die Torsionsuntergruppe von A. Die Gruppe A heißt torsionsfrei, wenn Tor(A) = 0. Sei Torfr(A) := A/ Tor(A) und ν : A ⟶ Torfr(A) die kanonische Projektion. Zeigen Sie: Torfr(A) ist torsionsfrei, und zu jeder torsionsfreien abelschen Gruppe B und jedem Homomorphismus f : A ⟶ B gibt es genau einen Homomorphismus f̄: Torfr(A) ⟶ B, so daß f = f̄ν. Welches Paar adjungierter Funktoren wird durch dieses universelle Problem beschrieben?

Aufgabe 24. Sei V ∈ k-Vek. Zeigen Sie, daß der Funktor Hom(V, -) : k-Vek ⟶ Me einen linksadjungierten Funktor besitzt.

Abgabe: Dienstag, den 13.06.2000 11:15 Uhr in der Vorlesung