Mathematisches Institut der Universität München

Prof. Dr. B. Pareigis

SS 2000 Blatt 4

Übungen zu Einführung in die Kategorientheorie

Aufgabe 13. Zeigen Sie, daß die Kategorie der Ringe (mit Einselement) Ri keinen Kogenerator besitzt. (Hinweis: Zeigen Sie für einen Kogenerator C zunächst Ri(ℤ/2ℤ, C) ≠ ∅ und Ri(ℤ/3ℤ, C) ≠ ∅ und leiten Sie daraus einen Widerspruch her.)

Aufgabe 14. Seien F, G : C → D Funktoren und φ : F → G eine natürliche Transformation. Zeigen Sie: φ ist ein natürlicher Isomorphismus genau dann, wenn alle φ(X) : F(X) → G(X) (für alle X ∈ C) Isomorphismen in D sind.

Aufgabe 15. Charakterisieren Sie diejenigen Morphismen f : A → B, für die die natürliche Transformation

C(f, -) : C(B, -) → C(A, -)

ein natürlicher Monomorphismus ist. (Eine natürliche Transformation φ : F → G heißt natürlicher Monomorphismus, wenn für alle Funktoren H und alle natürlichen Transformationen ψ, ρ : H → F gilt φψ = φρ ⟹ ψ = ρ.)

Aufgabe 16. Sei F : C → Me der kovariante Funktor mit F(Y) = {∗} für alle Y ∈ C. Seien X ∈ C ein Objekt und x_{0} ∈ F(X) so gegeben, daß für jedes Objekt Y ∈ C und jedes Element y ∈ F(Y) genau ein Morphismus f : X → Y so existiert, daß F(f)(x_{0}) = y gilt. Zeigen Sie, daß dann X ein Anfangsobjekt in C ist.

Abgabe Dienstag, den 30.5.2000 11:15 Uhr in der Vorlesung