Mathematisches Institut der Universität München

Prof. Dr. B. Pareigis

SS 2000 Blatt 2

Übungen zu Einführung in die Kategorientheorie

Aufgabe 5. (1) Zeigen Sie, daß die Kategorie der abelschen Gruppen Ab eine

Unterkategorie der Kategorie der Gruppen Gr ist. Ist die Unterkategorie voll?

(2) Zeigen Sie, daß die Kategorie der Monoide Mon eine Unterkategorie der Kategorie der Halbgruppen Hgr ist. Ist die Unterkategorie voll?

Aufgabe 6. (1) Bezeichne P(X) die Potenzmenge einer Menge X. Für eine Abbildung f : X ⟶ Y sei P(f)(A) := f(A) für jede Teilmenge A von X. Zeigen Sie, daß damit P : Me ⟶ Me ein kovarianter Funktor ist.

(2) Bezeichne Q(X) ebenfalls die Potenzmenge einer Menge X. Für eine Abbildung f : X ⟶ Y sei Q(f)(B) := f^{−1}(B) für jede Teilmenge B von Y. Zeigen Sie, daß damit Q : Me ⟶ Me ein kontravarianter Funktor ist.

Aufgabe 7. Für einen Vektorraum V sei V^{∗} = Hom_{K}(V, K) der Dualraum zu V. Für einen Vektorraumhomomorphismus f : V ⟶ W sei f^{∗} : W^{∗} ⟶ V^{∗} der Homomorphismus mit f^{∗}(ω)(v) := ω(f(v)). Zeigen Sie, daß damit −^{∗} : Vek ⟶ Vek ein kontravarianter Funktor wird.

Aufgabe 8. Seien F : C ⟶ E und G : D ⟶ E kovariante Funktoren. Die Komma-Kategorie (F ↓ G) ist die Kategorie mit Tripeln (A, f, B) als Objekten, wobei A ∈ C, B ∈ D und f : F(A) ⟶ G(B) in E sind. Die Morphismen bestehen aus Paaren (g, h) : (A, f, B) ⟶ (A′, f′, B′) mit (g : A ⟶ A′, h : B ⟶ B′) in C × D, so daß das Diagramm

[figure: F(A); F(A′); F(g); G(B); G(B′); G(h); f; f′]

kommutiert. Zeigen Sie, daß dieses eine Kategorie ist.

Abgabe Dienstag, den 16.5.2000 11:15 Uhr in der Vorlesung