Hopf-Algebren

Sommersemester 1998

1. Vortrag: Hopfalgebren

(a) Inhalt: Definition von Koalgebren, Bialgebren und Hopfalgebren, Sweedler-Notation, Gruppenringe als Beispiel.

(b) Literatur: [3], Kap. III, [6], Kap. 1, [8]

(c) Datum: 7.5.98

2. Vortrag: Der Struktursatz für Hopfmoduln

(a) Inhalt: Definition von Hopfmoduln, Struktursatz für Hopfmoduln, Definition von Integralen, Eindimensionalität des Raums der Integrale und Bijektivität der Antipode bei endlichdimensionalen Hopfalgebren.

(b) Literatur: [6], sec.1.9, sec. 2.1, [8]

(c) Datum: 14.5.98

3. Vortrag: Der Satz von Maschke

(a) Inhalt: Eine endlichdimensionale Hopfalgebra ist halbeinfach genau dann, wenn die Koeinheit nicht auf dem Integral verschwindet. Halbeinfache Hopfalgebren sind endlichdimensional.

(b) Literatur: [6], sec. 2.2, [13], Übungen zu Kap. 5

(c) Datum: 28.5.98

4. Vortrag: Die Formel von Radford

(a) Inhalt: Definition der Begriffe Frobeniusalgebra, Nakayama-Automorphismus, Beweis der Formel von Radford für die 4. Potenz der Antipode mit der Folgerung: In endlichdimensionalen Hopfalgebren hat die Antipode endliche Ordnung

(b) Literatur: [11]

(c) Datum: 4.6.98 5. Vortrag: Spurformeln

(a) Inhalt: Beweis der Spurformeln von Larson und Radford:

Sp(S^{2}) = ϵ(Λ)λ(1)
Sp(S^{2}) = (dim H)Sp(S^{2} |_{xH})

wobei Λ ∈ H und λ ∈ H^{∗} Linksintegrale mit λ(Λ) = 1 sind und x der Charakter der regulären Darstellung ist. Folgerung: In einer halbeinfachen Hopfalgebra über einem Körper der Charakteristik Null ist die Antipode eine Involution. Folgerung: Ist H halbeinfach und kohalbeinfach, so teilt die Charakteristik des Grundkörpers nicht die Dimension der Hopfalgebra.

(b) Literatur: [4], [5]

(c) Datum: 18.6.98

6. Vortrag: Frobeniusalgebren

(a) Inhalt: Definition von Quasi-Frobeniusalgebren. Der Sockel der unzerlegbaren Hauptmoduln von Quasi-Frobeniusalgebren ist einfach. Freie und treue Moduln über Frobeniusalgebren.

(b) Literatur: [2], [9], Theorem 4.38, [6], Lemma 3.1.1, [11]

(c) Datum: 25.6.98

7. Vortrag: Der Satz von Nichols-Zoeller

(a) Inhalt: Beweis des Satzes von Nichols und Zoeller: Jede endlichdimensionale Hopfalgebra ist frei über jeder Unterhopfalgebra.

(b) Literatur: [6], sec. 3.1, [11]

(c) Datum: 2.7.98

8. Vortrag: Normale Unterhopfalgebren

(a) Inhalt: Definition normaler Unterhopfalgebren und konormaler Hopfideale, Zuordnung zwischen Unterhopfalgebren und Hopfidealen.

(b) Literatur: [6], sec. 3.4, [12]

(c) Datum: 9.7.98

9. Vortrag: Verschränkte Produkte

(a) Inhalt: Definition von repräsentierbaren Erweiterungen, verschränkten Produkten und Galoiserweiterungen, Nachweis der Äquivalenz dieser Begriffe

(b) Literatur: [6], sec. 7.1, sec. 7.2, sec. 8.2, [10]

(c) Datum: 16.7.98 10. Vortrag: Normalbasen

(a) Inhalt: Kotensorprodukte, Transitivität verschränkter Produkte im endlichdimensionalen Fall, Normalbasen für endlichdimensionale Unterhopfalgebren

(b) Literatur: [6], sec. 8.4

(c) Datum: 23.7.98

11. Vortrag: Kokommutative Hopfalgebren

(a) Inhalt: Koradikalfiltrierung, Zerlegung punktierter kokommutativer Hopfalgebren in ein Radford-Biprodukt eines Gruppenrings und einer zusammenhängenden Hopfalgebra, Koradikalfiltrierung von universellen Einhüllenden, zusammenhängende kokommutative Hopfalgebren sind universelle Einhüllende in Charakteristik Null.

(b) Literatur: [6], Chap. 5

(c) Datum: 30.7.98

Termin: Donnerstag, 11-13

Literatur

[1] E. Abe: Hopf algebras, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1977

[2] C. W. Curtis/I. Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras, Wiley Interscience, New York, 1962

[3] C. Kassel: Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics 155, Springer, Berlin, 1995

[4] R. G. Larson/D. E. Radford: Semisimple cosemisimple Hopf algebras, Amer. J. Math. 110 (1988) 187-195

[5] R. G. Larson/D. E. Radford: Finite dimensional cosemisimple Hopf algebras in characteristic 0 are semisimple, J. Algebra 117 (1988), 267-289

[6] S. Montgomery: Hopf algebras and their actions on rings, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., no. 82, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1993

[7] B. Pareigis: Endliche Hopfalgebren, Algebra-Ber., Uni-Druck, München, 1973

[8] B. Pareigis: Lectures on quantum groups, Vorlesungsskriptum WS 97/98

[9] J. J. Rotman: An introduction to homological algebra, Academic Press, London, 1979 [10] P. Schauenburg: Cleftness of crossed products and Hopf Galois extensions

with a normal basis, Unveröffentlichte Notiz

[11] H. J. Schneider: Lectures on Hopf algebras, Universidad de Cordoba Trabajos de Matematica, Serie “B”, No. 31/95. Cordoba, Argentinien, 1995

[12] H. J. Schneider: Some remarks on exact sequences of quantum groups, Comm. Algebra 21 (1993) 3337-3358

[13] M. E. Sweedler: Hopf algebras, W. A. Benjamin, New York, 1969