Jones-Theorie

1. Vortrag 1: Der Satz von Kronecker

(a) Ziel: Beweis des Satzes von Kronecker über die Matrixnorm einer ganzzahligen Matrix.

(b) Literatur: [3], Chap. 1, sec. 1.1, 1.2.

(c) Datum: 14.11.97

2. Vortrag 2: Der Satz von Perron-Frobenius

(a) Ziel: Beweis des Satzes von Perron-Frobenius: Eine unzerlegbare Matrix mit nichtnegativen Eigenwerten hat einen positiven Eigenwert, dessen zugehöriger Eigenvektor positive Komponenten hat. Vorstellung weiterer Resultate. Vergleich mit den Begriffen aus [3], sec. 1.3

(b) Literatur: [2], Kap. 13, [3], Chap. 1, sec. 1.3.

(c) Datum: 21.11.97

3. Vortrag 3: Coxetergraphen

(a) Ziel: Beweis des Satzes über die Korrespondenz von Matrizen mit Einträgen 0 und 1 und gewissen Coxetergraphen.

(b) Literatur: [3], Chap. 1, sec. 1.4.

(c) Datum: 28.11.97

4. Vortrag 4: Der Bikommutantensatz

(a) Ziel: Beweis des Bikommutantensatzes von von Neumann im besonders einfachen Fall endlichdimensionaler halbeinfacher Algebren.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.2, insbesondere Proposition 2.2.3, vgl. auch [1], Chap. 1 und Chap. 3.

(c) Datum: 5.12.97

5. Vortrag 5: Bratteli-Diagramme

(a) Ziel: Definition von Bratteli-Diagrammen, Inklusionsmatrizen und dem Jones-Index. Herleitung ihrer elementaren Eigenschaften. Definition der Fundamentalkonstruktion von Jones. Berechung des Bratteli-Diagramms der Fundamentalkonstruktion B ⊂ End_{A}(B) aus dem Bratteli-Diagramm der Erweiterung A ⊂ B (b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.3 und Proposition 2.4.1.

(c) Datum: 12.12.97

6. Vortrag 6: Algebrentürme

(a) Ziel: Definition von Algebrentürmen durch Iteration der Fundamentalkonstruktion. Herleitung der Formel für die asymptotische Dimension.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.4.

(c) Datum: 19.12.97

7. Vortrag 7: Spuren und bedingte Erwartungen

(a) Ziel: Defintion von Spuren und bedingten Erwartungen. Fortsetzbarkeit von Spuren. Existenz und Eindeutigkeit bedinger Erwartungen.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.5, sec. 2.6.

(c) Datum: 9.1.98

8. Vortrag 8: Markowspuren

(a) Ziel: Defintion von Markowspuren. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ihre Existenz und Eindeutigkeit. Induzierte Markowspur auf der Fundamentalkonstruktion.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.7.

(c) Datum: 16.1.98

9. Vortrag 9: Temperley-Lieb-Algebren 1

(a) Ziel: Herleitung der Temperley-Lieb-Relationen für die bedingten Erwartungen eines Algebrenturms. Defintion von Temperley-Lieb-Algebren. Abschätzung der Dimension.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.7, sec. 2.8.

(c) Datum: 23.1.98

10. Vortrag 10: Temperley-Lieb-Algebren 2

(a) Ziel: Genaue Berechnung der Dimension der Temperley-Lieb-Algebren für generische Werte des Moduls. Nachweis der Halbeinfachheit der Temperley-Lieb-Algebra und genaue Bestimmung der Struktur.

(b) Hinweis: Wir betrachten in diesem Seminar nur den Fall, daß der Modul der Temperley-Lieb-Algebra generisch ist. Man beachte, daß Temperley-Lieb-Algebren in [3] etwas anders als üblich definiert sind. Der Zusammenhang mit der üblichen Defition findet sich in [3], Appendix IIb.

(c) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.8.

(d) Datum: 30.1.98 11. Vortrag 11: Hecke-Algebren

(a) Ziel: Definition der Hecke-Algebra zur einer beliebigen Erweiterung H ⊂ G von Gruppen. Spezialisierung auf die allgemeine lineare Gruppe über einem endlichen Körper. Berechung der Dimension der Hecke-Algebra.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.10a, sec. 2.10b.

(c) Datum: 6.2.98

12. Vortrag 12: Hecke-Algebren und Temperley-Lieb-Algebren

(a) Ziel: Konstruktion eines Algebrenhomomorphismusses von der Hecke-Algebra in die Temperley-Lieb-Algebra. Nachweis der Surjektivität. Bericht (ohne Beweis) über den Kern.

(b) Literatur: [3], Chap. 2, sec. 2.11.

(c) Datum: 13.2.98

13. Vortrag 13: Das Jones-Polynom

(a) Ziel: Definition der Zopfgruppen durch die Artin-Präsentation. Zusammenhang der Artin-Präsentation mit Zöpfen. Verschlingungen aus Zöpfen und die Markow-Bewegungen. Der kanonische Homomorphismus von der Zopfgruppe in die Hecke-Algebra. Definition des Jones-Polynoms.

(b) Literatur: [4], Chap. 9, Chap. 10.

(c) Datum: 20.2.98

Literatur

[1] B. Farb/R. K. Dennis: Noncommutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 144, Springer Verlag, Berlin, 1994

[2] F. R. Gantmacher: Matrizentheorie, Springer Verlag, Berlin, 1986

[3] F. M. Goodman/P. de la Harpe/V. F. R. Jones: Coxeter graphs and towers of algebras, Mathematical Sciences Research Institute Publications 14, Springer Verlag, Berlin 1989

[4] L. Kadison: Separability, Preprint, 1997