Mathematisches Institut und WS 2002/2003 Sektion Physik der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis, Priv. Doz. Dr. P. Schauenburg, Prof. Dr. J. Wess

K-Theorie

Vortragsplan

1. Vortrag: Die Gruppe K_{0}

• Ziel: Die K-Konstruktion: Vervollständigung von Halbgruppen zu Gruppen, projektive Moduln, Begriff der stabilen Isomorphie, die Gruppe K_{0}, Beschreibung durch Idempotente.

• Literatur: Primär: [6], § 1.1, 1.2, [5], § 1.

• Datum: 25.10.2002

2. Vortrag: K_{0} für Hauptidealringe und lokale Ringe

• Ziel: Beweis der Tatsache, daß über Hauptidealringen und lokalen Ringen jeder projektive Modul frei ist. Berechnung der K_{0}-Gruppe für solche Ringe.

• Literatur: Primär: [6], § 1.3, [5], § 1.

• Datum: 8.11.2002

3. Vortrag: K_{0} für Dedekindringe

• Ziel: Zusammenfassung der Theorie der Dedekindringe ohne Beweise. Zahlringe und Funktionenringe über algebraischen Kurven als Beispiele. Zusammenhang zwischen der K_{0}-Gruppe und der Idealklassengruppe.

• Literatur: Primär: [6], § 1.4, [5], § 1.

• Datum: 15.11.2002 4. Vortrag: Die relative K_{0}-Gruppe

• Ziel: Das Doppel eines Rings in Bezug auf ein Ideal, Definition der relativen K_{0}-Gruppe, Herleitung der exakten Sequenz. K_{0}-Gruppen für Ringe ohne Einselement, Ausschneidungssatz.

• Literatur: Primär: [6], § 1.5, Sekundär: [5], § 2, § 4.

• Datum: 22.11.2002

5. Vortrag: Die Gruppe K_{1}

• Ziel: Beweis des Lemmas von Whitehead, Definition der Gruppe K_{1}.

• Literatur: Primär: [6], § 2.1, [5], § 3.

• Datum: 29.11.2002

6. Vortrag: K_{1} für Schiefkörper und lokale Ringe

• Ziel: Berechnung der Gruppe K_{1} für Schiefkörper und lokale Ringe mit Hilfe von Determinanten über nichtkommutativen Ringen.

• Literatur: Primär: [6], § 2.2, Sekundär: [5], § 3.

• Datum: 6.12.2002

7. Vortrag: K_{1} für euklidische Ringe und Dedekindringe

• Ziel: Berechnung der Gruppe K_{1} für euklidische Ringe, Definition von Mennicke-Symbolen, Nachweis der Tatsache, daß für Dedekindringe mit endlichem Restklassenkörper die Gruppe SK_{1}(R) eine Torsionsgruppe ist.

• Literatur: Primär: [6], § 2.3, Sekundär: [5], § 3.

• Datum: 13.12.2002

8. Vortrag: Die relative K_{1}-Gruppe

• Ziel: Definition der relativen K_{1}-Gruppe, Beweis des relativen Whitehead-Lemmas, Herleitung der exakten Sechs-Term-Sequenz zwischen den K_{0}- und K_{1}-Gruppen.

• Literatur: Primär: [6], § 2.5, Sekundär: [5], § 2, § 4.

• Datum: 20.12.2002

9. Vortrag: Die Gruppe K_{2}

• Ziel: Definition der Steinberg-Gruppe und der Gruppe K_{2}, Nachweis der Tatsache, daß K_{2} das Zentrum der Steinberg-Gruppe ist, Diskussion der Tatsache, daß die Steinberg-Gruppe die universelle zentrale Erweiterung von E(R) ist, Definition und Rechenregeln für Steinberg-Symbole.

• Literatur: Primär: [6], § 4.2, Sekundär: [5], § 5.

• Datum: 10.1.2003

10. Vortrag: Die Gruppe K_{2} und die Brauergruppe

• Ziel: Definition von Symbolalgebren, Nachweis der Rechenregeln für Symbolalgebren, Konstruktion der kanonischen Abbildung von der K_{2}-Gruppe in die Brauergruppe, Formulierung der Sätze von Matsumoto und von Merkuriev und Suslin.

• Literatur: Primär: [2], Kap. 4, Exerc. 28. p. 139, [3], § 17, § 19, [7], Chap. 7, Append. B; Sekundär: [6], § 4.4

• Datum: 17.1.2003

11. Vortrag: Der Satz von Merkuriev und Suslin

• Ziel: Skizzierung des Beweises für die Surjektivität der kanonischen Abbildung im Satz von Merkuriev und Suslin.

• Literatur: Primär: [7], § 7.2, [3], Kap. V, Sekundär: [6], § 4.4

• Datum: 24.1.2003

12. Vortrag: K-Theorie für Operatoralgebren

• Ziel: Diskussion des Spezialfalles von Operatoralgebren, Bott-Periodizität, Spezialfall der C^{∗}-Algebra des Rings der stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum, Zusammenhang mit Vektorbündeln.

• Literatur: [1], [11]

• Datum: 31.1.2003

13. Vortrag: K-Theorie in der motivischen Kohomologie

• Ziel: Überblick über die höheren K-Gruppen, Formulierung der Vermutungen von Milnor und Bloch-Kato, Einordnung des Satzes von Merkuriev-Suslin.

• Literatur:

• Datum: 7.2.2003

14. Vortrag: K-Theorie und Stringtheorie

• Ziel: Überblick über die Rolle der K-Theorie in der Stringtheorie.

• Literatur: [4], [12]

Literatur

[1] B. Blackadar: K-theory for operator algebras, MSRI Publ., Band 5, Springer, Berlin, 1986

[2] B. Farb/R. K. Dennis: Noncommutative algebra, Grad. Texts Math., Band 144, Springer, Berlin, 1994 [3] I. Kersten: Brauergruppen von Körpern, Vieweg, 1990

[4] A. Kapustin: D-branes in a topologically nontrivial B-field, Adv. Theor. Math. Phys. 4 (2000), 127-154, hep-th 9909089, 1999

[5] J. Milnor: Introduction to algebraic K-theory, Ann. Math. Stud., Band 72, Princeton University Press and University of Tokyo Press, Princeton, 1971

[6] J. Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications, Grad. Texts Math., Band 147, Springer, Berlin, 1994

[7] L. Rowen: Ring theory II, Pure and Applied Mathematics, Band 128, Academic Press, London, 1988

[8] V. Srinivas: Algebraic K-theory, Progress in Math., Band 90, Birkhäuser, Basel, 1991

[9] V. Voevodsky: Lectures on motivic cohomology (notes by P. Deligne), Preprint, Institute of Advanced Study, Princeton, 2001

[10] V. Voevodsky: On 2-torsion in motivic cohomology, Preprint, Institute of Advanced Study, Princeton, 2001

[11] N. E. Wegge-Olsen: K-theory and C^{∗}-algebras, Oxford Univ. Press, Oxford, 1993

[12] E. Witten: Overview of K-theory applied to strings, Int. J. Mod. Phys. A 16 (2000), 693-706, hep-th 0007175, 2000