Mathematisches Institut und SS 2002 Sektion Physik der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis, Priv. Doz. Dr. P. Schauenburg, Prof. Dr. J. Wess

Azumaya-Algebren und Brauergruppen

Vortragsplan

1. Vortrag: Der Satz von Wedderburn-Artin

• Ziel: Beweis des Struktursatzes von Wedderburn-Artin für halbeinfache Ringe, unter Benutzung des Satzes von Wedderburn-Artin für einfache Ringe, den wir im vorhergehenden Seminar bewiesen haben, und der dabei bereits geleisteten Vorarbeit. Erläuterung grundlegender Begriffe wie ”zentralprimitives Idempotent“ oder ”isotypische Komponente“. Beweis äquivalenter Kennzeichnungen halbeinfacher Ringe: Ist der Ring als Modul über sich selbst halbeinfach, so sind alle Moduln halbeinfach.

• Literatur: Primär: [8], Kap. 1; Sekundär: [15], Kap. 1, [20], § 5

2. Vortrag: Das Jacobson-Radikal

• Ziel: Definition und elementare Eigenschaften des Jacobson-Radikals. Kennzeichnung halbeinfacher Ringe: Ein Ring ist genau dann halbeinfach, wenn er artinsch ist und sein Jacobson-Radikal verschwindet.

• Literatur: Primär: [8], Kap. 2; Sekundär: [15], Kap. 2, [20], § 7

3. Vortrag: Separable Algebren über Körpern

• Ziel: Definition separabler Algebren über allgemeinen Ringen. Danach Spezialisierung auf den Körperfall. Beweis der Kennzeichnung: Eine Algebra ist genau dann separabel, wenn sie halbeinfach ist und die Zentren der einfachen Wedderburn-Komponenten separable Körpererweiterungen sind. Insbesondere soll erklärt werden, weshalb der Begriff der separablen Algebra den Begriff der separablen Körpererweiterung verallgemeinert.

• Literatur: Primär: [8], Kap. 3, pp. 83-90, [26], Par. 1.1; Sekundär: [6], § II.2.

4. Vortrag: Separable Algebren über Ringen

• Ziel: Definition zentral-separabler Algebren, Beweis der Korrespondenz zwischen Idealen der Algebra und Idealen des Zentrums.

• Literatur: Primär: [26], Par. 1.1-1.5; Sekundär: [6], [11], [12]

5. Vortrag: Azumaya-Algebren 1

• Ziel: Definition von Azumaya-Algebren, Beweis der Äquivalenz zum Begriff der zentral-separablen Algebra mit Hilfe der Morita-Theorie. Lemma von Nakayama und des Satz von Hamilton-Cayley als Hilfsmittel.

• Literatur: Primär: [26], Par. 1.6-1.9, [21], Sec. 2.6; Sekundär: [6], [11], [12]

6. Vortrag: Die Brauergruppe 1

• Ziel: Definition der Brauergruppe, Konstruktion des inversen Elementes.

• Literatur: [8], Kap. 3 und Kap. 4, [6]; Sekundär: [11], [12]

7. Vortrag: Grundbegriffe der Gruppenkohomologie

• Ziel: Definition von Komplexen, Zykeln, Rändern, und Homologiegruppen bzw. Kohomologiegruppen. Balkenkomplex und Čech-Kom-plex als Beispiel. Beschreibung von abelschen Erweiterungen durch Kozykel. Der Vortragende sollte sich bemühen, den Stoff sinnvoll abzugrenzen und bei allen Konzepten stets den Spezialfall der zweiten Kohomologiegruppe darzustellen, den wir vor allem benötigen.

• Literatur: Primär: [8], Kap. 4, pp. 123-125, [16]; § IV.3, § IV.4; Sekundär: [27], [10]

8. Vortrag: Verschränkte Produkte

• Ziel: Definition verschränkter Produkte. Konstruktion verschränkter Produkte mit Hilfe von 2-Kozyklen der Galoisgruppe. Symbolalgebren. Rechenregeln für das Symbol. Quaternionen als verschränktes Produkt.

• Literatur: Primär: [8], Kap. 4, pp. 117-122, Exerc. 28, p. 139; Sekundär: [23], [14] 9. Vortrag: Hilfsmittel aus der kommutativen Algebra

• Ziel: Definition der Begriffe ”Vollständig“, ”lokaler Ring“. Evtl. Definition von Vervollständigung und Lokalisierung. Liften von Idempotenten für endlich erzeugte Algebren über vollständigen lokalen Ringen.

• Literatur: Primär: [1]; Sekundär: [7]

10. Vortrag: Azumaya-Algebren 2

• Ziel: Kriterien für Azumaya-Algebren: Eine Algebra ist genau dann eine Azumaya-Algebra, wenn ihr Faktoren nach allen maximalen Idealen zentraleinfach sind.

• Literatur: Primär: [26], Par. 2.1-2.5; [6], Thm. II.7.1, p. 72; Sekundär: [11], [12]

11. Vortrag: Die Brauergruppe 2

• Ziel: Bezug der Brauergruppe zur zweiten Kohomologiegruppe, Beweis des Satzes von Auslander: Die Brauergruppe eines noetherschen vollständigen lokalen Ringes ist isomorph zur Brauergruppe des Restklassenkörpers.

• Literatur: [8], Kap. 4 und Kap. 8, [6], Sec. II.5, [3]; Sekundär: [11], [12]

12. Vortrag: Azumaya-Algebren in der Stringtheorie

• Ziel: Überblick über die Rolle von Azumaya-Algebren in der Stringtheorie.

• Literatur: Primär: [13]; Sekundär: [28]

Literatur

[1] M. F. Atiyah/I. G. MacDonald: Commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, 1969

[2] F. W. Anderson/K. R. Fuller: Rings and categories of modules, Grad. Texts. Math., Band 13, Springer, Berlin, 1965

[3] M. Auslander/O. Goldman: The Brauer group of a commutative ring, Trans. Am. Math. Soc. 97 (1960), 367-409

[4] H. Bass: The Morita theorems, Skriptum, Univ. von Oregon, 1962

[5] H. Bass: Algebraic K-theory, Benjamin, New York, 1968

[6] F. DeMeyer/E. Ingraham: Separable algebras over commutative rings, Lect. Notes Math., Band 181, Springer, Berlin, 1971 [7] D. Eisenbud: Commutative algebra with a view toward algebraic geometry,

Grad. Texts Math., Band 150, Springer, Berlin, 1995

[8] B. Farb/R. K. Dennis: Noncommutative algebra, Grad. Texts Math., Band 144, Springer, Berlin, 1994

[9] N. Jacobson: Basic algebra II, Freeman, San Francisco, 1980

[10] P. J. Hilton/U. Stammbach, A course in homological algebra, Grad. Texts Math., Band 4, Springer, Berlin, 1971

[11] M. A. Knus: Quadratic and hermitian forms over rings, Grundlehren Math. Wiss., Band 294, Springer, Berlin, 1991

[12] M. A. Knus/M.. Ojanguren: Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya, Lect. Notes Math., Band 389, Springer, Berlin, 1974

[13] A. Kapustin: D-branes in a topologically nontrivial B-field, Adv. Theor. Math. Phys. 4 (2000), 127-154, hep-th 9909089, 1999

[14] M. A. Knus/A. Merkurjev/M. Rost/J.-P. Tignol: The book of involutions, AMS Colloquium Publications, Band 44, Am. Math. Soc., Providence, 1998

[15] T. Y. Lam: A first course in noncommutative rings, Grad. Texts Math., Band 131, Springer, Berlin, 1991

[16] S. Mac Lane: Homology, Grundlehren Math. Wiss., Band 114, Springer, Berlin, 1963

[17] H. Matsumura: Commutative ring theory, Camb. Stud. Adv. Math., Band 8, Camb. Univ. Press, Cambridge, 1986

[18] J. Milnor: Introduction to algebraic K-theory, Ann. Math. Stud., Band 72, Princeton University Press and University of Tokyo Press, Princeton, 1971

[19] B. Pareigis: Descent theory applied to Galois theory, Skriptum, Univ. San Diego, 1986

[20] B. Pareigis: Algebra II, Skriptum, Univ. München, 1997

[21] C. Peskine: An algebraic introduction tio complex projective geometry, I. Commutative algebra, Camb. Stud. Adv. Math., Band 47, Camb. Univ. Press, Cambridge, 1996

[22] G. Renault: Algèbre non commutative, Collection ‘Varia mathematica’, Gauthier-Villars, Paris, 1975

[23] L. Rowen: Ring theory II, Pure and Applied Mathematics, Band 128, Academic Press, London, 1988

[24] D. Saltman: Lectures on division algebras, CBMS Reg. Conf. Ser. Math., Vol. 94, Am. Math. Soc., Providence, 1999 [25] Y. Sommerhäuser: Lineare Topologien auf algebraischen Objekten, Semi-

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[26] Y. Sommerhäuser: Notes on Azumaya algebras, unveröffentlichtes Manuskript, München, 2001

[27] C. A. Weibel: An introduction to homological algebra, Camb. Stud. Adv. Math., Band 38, Camb. Univ. Press, Cambridge, 1994

[28] E. Witten: Overview of K-theory applied to strings, Int. J. Mod. Phys. A 16 (2000), 693-706, hep-th 0007175, 2000