Mathematisches Institut und WS 2001/2002 Sektion Physik der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis, Priv. Doz. Dr. P. Schauenburg, Prof. Dr. J. Wess

Morita-Theorie und Deformationsquantisierung

Vortragsplan

1. Vortrag 1: Das Tensorprodukt

• Ziel: Konstruktion des Tensorproduktes zweier Moduln im Fall nichtkommutativer Grundringe.

• Literatur: [12], Abschnitt 3.7, S. 125 (primär), [1] (sekundär).

• Datum: 25.10.2001

2. Vortrag 2: Kategorien

• Ziel: Definition folgender Begriffe: Kategorie, Funktor, natürliche Transformation, K-Kategorie, Isomorphismus, Epimorphismus, Monomorphismus, projektiv, injektiv, Generator, Kogenerator.

• Literatur: [2], S. 2-4 (primär), [20], [26] (sekundär).

• Datum: 8.11.2001

3. Vortrag 3: Der Morita-Kontext

• Ziel: Definition eines Morita-Kontextes, der Morita-Kontext zwischen einem Ring und dem Endomorphismenring eines Moduls als Beispiel, Kennzeichnung von Generatoren.

• Literatur: [2], S. 4-7 (primär), [12], Abschnitt 3.12, S. 164, [22], Def. 4.4, S. 20 (sekundär).

• Datum: 15.11.2001 4. Vortrag 4: Der erste Satz von Morita

• Ziel: Beweis des Dualbasis-Lemmas für projektive Moduln, Beweis des ersten Satzes von Morita: Ein strikter Morita-Kontext führt zu einer Äquivalenz der Modulkategorien.

• Literatur: [2], S. 7-12 (primär), [12], Abschnitt 3.12, S. 164, [22], Satz. 4.8, S. 21 (sekundär).

• Datum: 22.11.2001

5. Vortrag 5: Der zweite und der dritte Satz von Morita

• Ziel: Beweis des zweiten Satzes von Morita: Jede Äquivalenz zwischen Modulkategorien rührt von einem strikten Morita-Kontext her. Beweis des dritten Satzes von Morita: Die Automorphismengruppe der Modulkategorie ist isomorph zur Gruppe der Isomorphieklassen von Progeneratoren.

• Literatur: [2], S. 13-14 (primär), [12], Abschnitt 3.15, S. 177, [22], Satz. 4.10 und Satz. 4.10, S. 24 (sekundär).

• Datum: 29.11.2001

6. Vortrag 6: Der Satz von Wedderburn-Artin

• Ziel: Beweis des Satzes von Wedderburn-Artin für einfache artinsche Ringe mit Hilfe der Morita-Theorie. Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Algebren über den komplexen Zahlen. Evtl. Diskussion halbeinfacher artinscher Ringe.

• Literatur: [2], S. 15, [12], Abschnitt 3.13, S. 171, [22], Satz. 5.7, S. 27 (primär), [16], [10] (sekundär).

• Datum: 6.12.2001

7. Vortrag 7: C^{∗}-Algebren

• Ziel: Definition von C^{∗}-Algebren, die beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum und die stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum als Beispiele, Auswahl wichtiger Eigenschaften.

• Literatur: [19] (primär), [4], [14], [23], [25], [27] (sekundär).

• Datum: 13.12.2001

8. Vortrag 8: Morita-Theorie für C^{∗}-Algebren

• Ziel: Definition von hermiteschen Moduln und Äquivalenz-Bimoduln, Definition starker Morita-Äquivalenz. Hermitesche Vektorbündel über kompakten Räumen als Beispiel.

• Literatur: [24] (primär), [23], [7] (sekundär).

• Datum: 20.12.2001 9. Vortrag 9: Grundideen der Deformationsquantisierung

• Ziel: Begriff der Deformation, Definition von Sternprodukten, Bezug zu Poissonklammern.

• Literatur: [11], [15], [28].

• Datum: 10.1.2002

10. Vortrag 10: Varianten der Morita-Äquivalenz

• Ziel: Vergleich der Begriffe Morita-Äquivalenz, formale Morita-Äqui-valenz, Morita-*-Äquivalenz.

• Literatur: [6], [8].

• Datum: 17.1.2002

11. Vortrag 11: Morita-Äquivalenz von Sternprodukten

• Ziel: Definition der Wirkung der Picardgruppe auf dem Modulraum differentieller Sternprodukte, Erklärung der Tatsache, daß zwei Sternprodukte genau dann Morita-äquivalent sind, wenn sie bezüglich dieser Wirkung in derselben Bahn liegen.

• Literatur: [5] (primär), [13] (sekundär).

• Datum: 24.1.2002

Literatur

[1] F. W. Anderson/K. R. Fuller: Rings and categories of modules, Grad. Texts. Math, Band 13, Springer, Berlin, 1965

[2] H. Bass: The Morita theorems, Skriptum, Univ. von Oregon, 1962

[3] H. Bass: Algebraic K-theory, Benjamin, New York, 1968

[4] O. Bratteli/D. W. Robinson: Operator algebras and quantum statistical mechanics I, Texts and monographs in physics, Springer, Berlin, 1979

[5] H. Bursztyn: Semiclassical geometry of quantum line bundles and Morita equivalence of star products, Preprint, math.QA/0105001, 2001

[6] H. Bursztyn/S. Waldmann: Algebraic Rieffel induction, formal Morita equivalence, and applications to deformation quantization, J. Geom. Phys. 37 (2001), 307-364, math.QA/9912182

[7] H. Bursztyn/S. Waldmann: Deformation quantization of hermitian vector bundles, Lett. Math. Phys. 53, 349, math.QA/0009170

[8] H. Bursztyn/S. Waldmann: ∗-Ideals and formal Morita equivalence of ∗- algebras, Intern. J. Math. 12 (2001), 555-577, math.QA/0005227 [9] H. Bursztyn/S. Waldmann: The characteristic classes of Morita equivalent

star products on symplectic manifolds, Preprint, math.QA/0106178, 2001 [10] B. Farb/R. K. Dennis: Noncommutative algebra, Grad. Texts Math.,

Band 144, Springer, Berlin, 1994

[11] B. V. Fedosov: Deformation quantisation and index theory, Akademie-Verlag, Berlin, 1996

[12] N. Jacobson: Basic algebra II, Freeman, San Francisco, 1980

[13] B. Jurco/P. Schupp/J. Wess: Noncommutative line bundle and Morita equivalence, Preprint, hep-th/0106110, 2001

[14] R. Kadison/J. Ringrose: Fundamentals of the theory of operator algebras, Band I und II, Academic Press, London, 1983, 1986

[15] M. Kontsevich: Deformation quantization of Poisson manifolds, I, Preprint, q-alg/9709040, 1997

[16] T. Y. Lam: A first course in noncommutative rings, Grad. Texts Math., Band 131, Springer, Berlin, 1991

[17] S. MacLane: Categories for the working mathematician, Grad. Texts Math., Band 5, 2. Aufl., Springer, Berlin, 1998

[18] B. Mitchell: Theory of categories, Academic Press, London, 1965

[19] G. J. Murphy: C^{∗}-algebra and operator theory, Academic Press, London, 1990

[20] B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner, Stuttgart, 1969

[21] B. Pareigis: Descent theory applied to Galois theory, Skriptum, Univ. San Diego, 1986

[22] B. Pareigis: Algebra II, Skriptum, Univ. München, 1997

[23] G. Pedersen: C^{∗}-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, 1979

[24] M. Rieffel: Morita equivalence for operator algebras. In: Operator algebras and applications, Proc. Symp. Pure Math. 38, Band 1, Am. Math. Soc., Providence, 1982

[25] S. Sakai: C^{∗}-algebras and W^{∗}-algebras, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 60, Springer, Berlin, 1971

[26] H. Schubert: Kategorien I, Springer, Berlin, 1970

[27] M. Takesaki: Theory of operator algebras I, Springer, Berlin, 1979

[28] A. Weinstein: Deformation quantisation, Sem. Bourbaki, Band 789, 1994