Mathematisches Institut SS 2001 der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis, Priv. Doz. Dr. P. Schauenburg

Kristallographische Gruppen

Vortragsplan

Vortrag 1: Komplexe Zahlen und die Geometrie der Ebene

• Ziel: Definition der Länge eines Vektors und des Winkels zweier Vektoren in der Ebene. Struktur der orthogonalen Gruppe: Einteilung in Drehungen und Spiegelungen, Kommutativität der Drehgruppe. Beschreibung von Drehungen und Spiegelungen mit Hilfe von komplexen Zahlen.

• Literatur: [4], [10].

Vortrag 2: Die Bewegungsgruppe der Ebene

• Ziel: Definition des Begriffes der Bewegung. Nachweis, daß jede Bewegung Komposition aus einer orthogonalen Abbildung und einer Translation ist. Definition des semidirekten Produktes von Gruppen, Beschreibung der Bewegungsgruppe als semidirektes Produkt der orthogonalen Gruppe und der Translationsgruppe.

• Literatur: [7], § 1.

Vortrag 3: Diedergruppen

• Ziel: Definition von Diedergruppen, Beschreibung als semidirektes Produkt, Bestimmung aller Untergruppen der zyklischen Gruppen und der Diedergruppen.

• Literatur: [1], Chap. 4, [7] Satz 7.3.

Vortrag 4: Gitter

• Ziel: Äquivalente Beschreibungen von Gittern im ℝ^{2}, Existenz von Gitterbasen, Beweis des Satzes von Lagrange: Im ℝ^{2} ist ein Minimalsystem eines Gitters bereits eine Gitterbasis.

• Literatur: [7], § 2.

Vortrag 5: Punktgruppen und kristallographische Einschränkung

• Ziel: Definition kristallographischer Gruppen und deren Punktgruppen, Beschreibung der affinen Äquivalenz durch die Punktgruppen. Nachweis der kristallographischen Einschränkung. Illustration von Beispielen an Bildern.

• Literatur: [12], ergänzend [1], Chap. 25.

Vortrag 6: Klassifikation kristallographischer Gruppen I

• Ziel: Reduktion des Problems auf quadratische Gitter und Sechseckgitter, Klassifikation der kristallographischen Gruppen, deren Punktgruppe eine Drehung um 90^{∘} enthält.

• Literatur: [12].

Vortrag 7: Klassifikation kristallographischer Gruppen II

• Ziel: Bestimmung der möglichen Punktgruppen in dem Fall, daß die Gruppe keine Drehung um 90^{∘} enthält.

• Literatur: [13], Lemma E 3.

Vortrag 8: Klassifikation kristallographischer Gruppen III

• Ziel: Bestimmung von Urbildern der Elemente der Punktgruppen, Abschluß der Klassifikation. Illustration der gefundenen Gruppen an Bildern.

• Literatur: [13], Hauptsatz.

Vortrag 9: Das Isomorphieproblem

• Ziel: Beweis, daß die gefundenen Gruppen nicht isomorph sind.

• Literatur: [1], Chap. 26.

Literatur

[1] M. A. Armstrong: Groups and symmetry, 2. Aufl., Undergraduate texts in mathematics, Springer, Berlin, 1997

[2] K. Bongartz/W. Borho/D. Mertens/A. Steins: Farbige Parkette – Mathematische Theorie und Ausführung mit dem Computer, Mathematische Miniaturen, Bd. 4, Birkhäuser, Basel, 1988 [3] J. J. Burckhardt: Die Bewegungsgruppen der Kristallographie, 2. Aufl.,

Birkhäuser, Basel, 1966

[4] H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie, Birkhäuser, Basel, 1963 [5] G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, Braunschweig

[6] B. Grünbaum/G. C. Shephard: Tilings and patterns, Freeman, New York, 1987

[7] J. E. Humphreys: Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Stud. Adv. Math., Bd. 29, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992

[8] M. Klemm: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen, Hochschultext, Springer, Berlin, 1981

[9] G. E. Martin: Transformation geometry, Undergraduate texts in mathematics, Springer, Berlin, 1982

[10] V. V. Nikulin/I. R. Shafarevich: Geometries and groups, Universitext, Springer, Berlin, 1987

[11] B. Pareigis: Lineare Algebra für Informatiker, Springer-Lehrbuch, Springer, Berlin, 2000

[12] D. Schattschneider: The plane symmetry groups: Their recognition and notation, Am. Math. Mon. 85 (1978), 439-450

[13] H.-J. Schneider: Vorlesungsskriptum zur linearen Algebra, Wintersemester 1996/97

[14] H.-J. Schneider: Ebene kristallographische Gruppen, Ergänzung zur Vorlesung MIB, München, 1997

[15] H. Weyl: Symmetrie, Wissenschaft und Kultur, Bd. 11, Birkhäuser, Basel, 1955

[16] T. W. Wieting: The mathematical theory of chromatic plane ornaments, Dekker, New York, 1982