EBENE KRISTALLOGRAPHISCHE GRUPPEN

1. Einführung

Isometrien (Kongruenzbildungen) der Ebene lassen sich besonders einfach mit komplexen Zahlen beschreiben. Deshalb wird die Gaußsche Zahlenebene mit ℂ = ℝ^{2} identifiziert. S^{1} := \{ζ ∈ ℂ||ζ| = 1\} = \{e^{iφ}|φ ∈ ℝ\} ist der \underline{Einheitskreis.}

Eine ℝ-lineare Abbildung h : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} heißt eigentlich orthogonal, falls es ein ζ ∈ S^{1} gibt, so daß für alle z ∈ ℂ gilt

h(z) = ζz

und uneigentlich orthogonal, falls es ein ζ ∈ S^{1} gibt, so daß für alle z ∈ ℂ gilt

h(z) = ζ\overline{z}

Dabei ist \overline{z} = x − iy für z = x + iy, x, y ∈ ℝ. Sie heißt orthogonal, falls sie eigentlich orthogonal oder uneigentlich orthogonal ist.

Sei ζ = e^{iφ} ∈ S^{1}, φ ∈ ℝ Dann ist z ↦ ζz die \underline{Drehung} um den Nullpunkt mit Drehwinkel φ, z ↦ ζ\overline{z} ist die Spiegelung an der Geraden ℝe^{i \frac{φ}{2}} .

O(ℝ^{2}) := {h : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}|h orthogonal }

SO(ℝ^{2}) := {h : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}|h eigentlich orthogonal}

Eine Abbildung g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} heißt \underline{Isometrie}: ⟺ ∃v ∈ ℝ^{2}, h ∈ O(ℝ^{2}) : g = τ_{v}h, d.h. ∀z ∈ ℝ^{2} : g(z) = v + h(z)τ_{v} : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, τ_{v}(z) := v + z∀z, ist die \underline{Translation} um den Vektor v.

Später werden wir sehen, daß g genau dann Isometrie ist, wenn g Abstände erhält, d.h. wenn ∀z, z′ ∈ ℝ^{2} : |g(z) − g(z′)| = |z − z′|.

Is(ℝ^{2}) := {g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}|g Isometrie }.

Dann sind SO(ℝ^{2}) ⊂ O(ℝ^{2}) ⊂ Is(ℝ^{2}) Gruppen bzgl. der Komposition von Abbildungen. Nach Vorlesung ist jede Isometrie \underline{Translation} oder \underline{Drehung} um einen Punkt der Ebene oder \underline{Spiegelung} an einer Geraden der Ebene oder \underline{Gleitspiegelung}, d.h. Spiegelung an einer Geraden mit anschließender Translation um einen festen Vektor ≠ O in Richtung der Spiegelgeraden.

Für 1 ≤ n ∈ ℕ ist ζ_{n} := e^{\frac{2πi}{n}} := cos \frac{2π}{n} + i sin \frac{2π}{n}, also ζ_{4} = i, ζ_{6} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, ζ_{3} = ζ_{6}^{2} = −\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + ζ_{3} = ζ_{6}. Seien r_{n}, s ∈ O(ℝ^{2}) def. durch r_{n}(z) := ζ_{n}z, s(z) := \overline{z}∀z. Wichtige endliche Untergruppen von O(ℝ^{2}) : C_{n} := ⟨r_{n}⟩ zyklische Gruppe der Ordnung n, D_{n} := ⟨r_{n}, s⟩ \underline{Diedergruppe} der Ordnung 2n.

\underline{Rechenregeln:} sr = r^{−1}s für r ∈ SO(ℝ^{2}).fτ_{v} = τ_{f(v)}f für f ∈ End_{ℝ}(ℝ^{2}), v ∈ ℝ^{2}.

2. Gitter

Definition 2.1. Sei L ⊂ ℝ^{2} eine bezüglich der Addition eine Untergruppe. L heißt ein \underline{Gitter}: ⟺

1)L ist \underline{diskret}, d.h. ∀g > 0 : \{v ∈ L||v| ≤ g\} endlich

2) L enthält zwei reell linear unabhängige Vektoren.

Wir wollen nun einige für Gitter wichtige Begriffe einführen: Definition 2.2. Sei L ⊂ ℝ^{2} ein Gitter.

1) a, b ∈ L heißt \underline{Minimalsystem} von L, falls a und b reell linear unabhängig sind und gilt:

|a| = Min{|v| | 0 ≠ v ∈ L}
|b| = Min{|v||v ∈ L, a und v sind reell linear unabhängig}

2) a, b ∈ L heißt \underline{Gitterbasis} von L, falls a und b reell linear unabhängig sind und L = ℤa + ℤb ist, d. h. L = {ra + sb | r, s ∈ ℤ} ist.

Das folgende Bild zeigt eine Gitterbasis eines Gitters:

[figure]

Wir beweisen nun den folgenden Satz von Lagrange: Satz 2.3. (1) Jedes Gitter besitzt ein Minimalsystem.

(2) Jedes Minimalsystem ist eine Gitterbasis.

Beweis. 1) Sei L ein Gitter und v_{1} ∈ L ein von Null verschiedenes Element. Da L diskret ist, ist die Menge

{v ∈ L | 0 ≠ |v| ≤ |v_{1}|}

endlich und nicht leer. Wählt man in dieser Menge ein Element a ≠ 0 mit minimaler Länge, so gilt für alle v ∈ L:

|v| ≤ |v_{1}| ⇒ |a| ≤ |v|

Daraus folgt, daß sogar für alle v ∈ L |a| ≤ |v| gilt.

Da L zwei reell linear unabhängige Vektoren enthält, existiert ein v_{2} ∈ L, so daß a und v_{2} reell linear unabhängig sind. Wählt man dann, ähnlich wie vorher, in der endlichen nichtleeren Menge

{v ∈ L | v, a linear unabhängig, |v| ≤ |v_{2}|}

ein Element b kleinster Länge, so bilden a und b ein Minimalsystem von L.

2) Sei a und b ein Minimalsystem von L. Wir zeigen L = ℤa + ℤb. Offenbar ist ℤa + ℤb ⊆ L. Um die andere Inklusion zu zeigen, schließen wir durch Widerspruch und nehmen an, daß x in L, aber nicht in ℤa + ℤb liegt.

Da a, b eine Basis des ℝ^{2} ist, gibt es α, β ∈ ℝ, so daß x = αa + βb ist. Schreibe

α = α′ + k, β = β′ + l

mit 0 ≤ α′, β′ < 1, k, l ∈ ℤ. Dann gilt

x = \underbrace{α′a + β′b}_{=:x′} + \underbrace{ka + lb}_{=:v}

Da x und v aus L sind, ist auch x′ = x − v ∈ L, aber nicht in ℤa + ℤb. Ist nun α′ = 0, so ist, da x ∉ ℤa + ℤb, β′ ≠ 0. Somit ist, da x′ ∈ L ist, 0 = x′ = β′b ∈ L, aber |β′b| = β′|b| < |b| im Widerspruch zur Minimalität von |b|.

Ähnlich argumentiert man im nächsten Fall: Ist β′ = 0, so ist, da x ∉ ℤa + ℤb, α′ ≠ 0 und somit 0 = x′ = α′a ∈ L, aber |α′a| < |a| im Widerspruch zur Minimalität von |a|.

Also ist α′ ≠ 0 und β′ ≠ 0. Daraus folgt

|x′ − a| = |(α′ − 1)a + β′b| < \underbrace{|α′ − 1|}_{=1−α′} |a| + β′|b| ≤ (1 − α′ + β′)|b|

da (α′ − 1)a und β′b reell linear unabhängig sind. Weiter ist

|x′ − b| = |α′a + (β′ − 1)b| < α′|a| + |β′ − 1||b| ≤ (1 + α′ − β′)|b|

da α′a und (β′ − 1)b linear unabhängig sind. Addiert man diese Ungleichungen, so folgt

|x′ − a| + |x′ − b| < 2|b| ≤ |x′ − a| + |x′ − b|

ein Widerspruch. Dabei wurde für die zweite Ungleichung benutzt, daß wegen der Minimalität von b gilt

|b| ≤ |x′ − a|, |b| ≤ |x′ − b|

denn sowohl x′ − a = (α′ − 1)a + β′b als auch x′ − b = α′a + (β′ − 1)b sind von a linear unabhängig. □

3. Die kristallographische Einschränkung

Definition 3.1. Sei G ⊂ Is(ℝ^{2}) eine Untergruppe. G heißt eine ebene kristallographische Gruppe, wenn die Menge L := {v ∈ ℝ^{2}|τ_{v} ∈ G} ein Gitter bildet.

Dann heißt L das Gitter von G und

H := {h ∈ O(ℝ^{2})|∃v ∈ ℝ^{2} : τ_{v}h ∈ G}

die Punktgruppe von G.

Die Abbildung

π : Is(ℝ^{2}) → O(ℝ^{2}), π(τ_{v}h) := h

für v ∈ ℝ^{2}, h ∈ O(ℝ^{2}), ist ein Gruppenepimorphismus. Nach Definition ist die Punktgruppe von G das Bild von G unter π.

Ebene kristallographische Gruppen beschreiben Symmetriegruppen ebener Ornamente, d. h. die Gruppen von Isometrien, die ein ebenes Ornament auf sich abbilden (wobei ebene Ornamente hier nicht definiert werden).

Wir wollen die möglichen Symmetrietypen ebener Ornamente beschreiben, genauer wollen wir ebene kristallographische Gruppen bis auf affine Äquivalenz beschreiben: Definition 3.2. Ebene kristallographische Gruppen G, G′ heißen affin äquivalent, falls es eine Affinität φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} mit G′ = φGφ^{−1}(:= {φgφ^{−1}|g ∈ G}) gibt. Eine Affinität ist dabei eine bijektive Abbildung der Form φ = τ_{v}f mit v ∈ ℝ^{2}, f ∈ Aut_{ℝ}(ℝ^{2}).

Insbesondere sind affin äquivalente ebene kristallographische Gruppen isomorph. Tatsächlich sind isomorphe ebene kristallographische Gruppen bereits affin äquivalent.

Ein zentrales Ergebnis der Theorie der ebenen kristallographischen Gruppen ist die sog. ‘kristallographische Einschränkung’, die sich im zweiten Teil des folgenden Satzes findet: Theorem 3.3. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe, L das zugehörige Gitter und H die Punktgruppe. Weiter sei H^{+} := H ∩ SO(ℝ^{2}). Dann gilt:

(1) H operiert auf L, d. h., für h ∈ H ist h(L) = L.

(2) H^{+} ⊂ C_{4} oder H^{+} ⊂ C_{6}, d. h. jede Drehung in H ist eine Drehung um einen der Winkel 0, π, \frac{π}{2}, \frac{2π}{3} oder \frac{π}{3} mit oder entgegen dem Uhrzeigersinn.

Beweis. 1) Zunächst zeigen wir, daß für h ∈ H gilt: h(L) = L. Ist h ∈ H und v ∈ L, so gibt es ein w ∈ ℝ^{2}, für das τ_{w}h =: g ∈ G ist. Es ist τ_{v} ∈ G, also

gτ_{v}g^{−1} = τ_{w} \underbrace{hτ_{v}}_{τ_{h(v)h}} h^{−1}τ_{w}^{−1} = τ_{h(v)} ∈ G und damit h(v) ∈ L. Also ist h(L) ⊂ L.

Ist andererseits v ∈ L, so ist, da h^{−1} ∈ H ist, h^{−1}(v) ∈ L. Also ist v = h(h^{−1}(v)) ∈ h(L).

2) Sei r ∈ H^{+}. Wir haben dann dann r(z) = ζz für eine komplexe Zahl ζ = e^{iφ} vom Betrag 1. Sei a, b eine Gitterbasis von L. Nach dem ersten Teil gilt dann

r(a) = ζa ∈ L r^{−1}(a) = \overline{ζ}a ∈ L

Also ist auch ζa + \overline{ζ}a = (ζ + \overline{ζ})a = (2 cos φ)a ∈ L = ℤa + ℤb. Da a, b eine Gitterbasis von L ist, ist 2 cos φ ∈ ℤ und somit 2 cos φ ∈ \{0, ±1, ±2\}. Also ist cos φ ∈ \{0, ±\frac{1}{2}, ±1\}, was nur für die angegebenen Winkel möglich ist. □

Man beachte, daß eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn natürlich das Inverse der entsprechenden Drehung im Uhrzeigersinn ist. Man kann daher die kristallographische Einschränkung auch so formulieren: Bezeichnet r_{n} die Drehung um den Winkel 2π/n, so können nur die Drehungen r_{1} = id, r_{2} = −id, r_{3}, r_{4} und r_{6} oder ihre Inversen in der Punktgruppe einer ebenen kristallographischen Gruppe enthalten sein. Lemma 3.4. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe mit Gitter L und Punktgruppe H. Sei ϕ = τ_{v}f eine Affinität. Dann ist ϕGϕ^{−1} genau dann eine ebene kristallographische Gruppe, wenn fHf^{−1} ⊂ O(ℝ^{2}) ist. In diesem Fall ist f(L) das Gitter von ϕGϕ^{−1} und fHf^{−1} die Punktgruppe von ϕGϕ^{−1}.

Beweis. Für eine Bewegung ψ = τ_{w}g gilt

ϕψϕ^{−1} = τ_{v}fτ_{w}gf^{−1}τ_{−v} = τ_{v+f(w)−fgf^{−1}(v)}fgf^{−1}

Das ist genau dann wieder eine Bewegung, wenn fgf^{−1} orthogonal ist. Somit besteht ϕGϕ^{−1} genau dann aus Bewegungen, wenn fHf^{−1} ⊂ O(ℝ^{2}) ist.

Setzt man in der obigen Gleichung g = id, so erkennt man, daß die in ϕGϕ^{−1} enthaltenen Translationen genau von der Form τ_{f(w)} sind, wobei τ_{w} ∈ G liegt. Daran sieht man, daß f(L) das Gitter von ϕGϕ^{−1} ist, insbesondere ist ϕGϕ^{−1}, sofern es nur aus Bewegungen besteht, auch eine kristallographische Gruppe. Ganz ähnlich kann man die Punktgruppe aus der obigen Gleichung ablesen. □

Lemma 3.5. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe mit Punktgruppe H und Gitter L. Weiter sei H^{+} := H ∩ SO(ℝ^{2}).

(1) Ist r_{n} ∈ H^{+}, so existiert ein Vektor w ∈ ℝ^{2}, so daß die zu G affin (sogar euklidisch) äquivalente Gruppe G′ := τ_{w}Gτ_{−w} dasselbe Gitter L und dieselbe Punktgruppe H besitzt und außerdem noch die Drehung r_{n} enthält: r_{n} ∈ G′

(2) Ist h ∈ H eine Spiegelung, so folgt aus τ_{v}h ∈ G, daß v + h(v) ∈ L.

Beweis. Die erste Aussage ist klar, falls r_{n} die Identität ist, wir nehmen nun an, daß das nicht der Fall ist. Nach Definition der Punktgruppe existiert ein v ∈ ℝ^{2} mit τ_{v}r_{n} ∈ G. Für w ∈ ℝ^{2} ist die Bedingung

τ_{w}τ_{v} \underbrace{r_{n}τ_{−w}}_{τ_{−ζnw}r_{n}} = r_{n}

äquivalent zu w +v −ζ_{n}w = 0,, und das bedeutet w = \frac{v}{ζ_{n}−1}. Setzt man also w := \frac{v}{ζ_{n}−1} und G′ := τ_{w}Gτ_{−w}, so ist r_{n} ∈ G′. Nach Lemma 3.4 ändern sich bei diesem Übergang Gitter und Punktgruppe nicht.

Die zweite Aussage sieht man so: Mit g := τ_{v}h liegt auch g^{2} in G. Nun ist

g^{2} = τ_{v}hτ_{v}h = τ_{v+h(v)}h^{2} = τ_{v+h(v)}

Somit ist v + h(v) ∈ L. □

Die kristallographische Einschränkung erlaubt es uns, die Zahl der auftretenden Gitter beträchtlich zu reduzieren. Der folgende Satz zeigt, daß man sich auf das quadratische Gitter (das Schachbrettgitter) und das hexagonale Gitter (das Bienenwabengitter) beschränken kann:

Satz 3.6. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe mit der Punktgruppe H und dem Gitter L. Enthält H für n = 3, 4 oder 6 die Drehung r_{n}, so existiert eine affin äquivalente ebene kristallographische Gruppe G′ mit Gitter L′, Punktgruppe H′ und folgenden Eigenschaften:

(1) H^{′+} = H^{+}.

(2) L′ = ℤ · 1 + ℤi und H′ ⊂ D_{4} falls n = 4.

(3) L′ = ℤ · 1 + ℤζ_{6} und H′ ⊂ D_{6}, falls n = 3, 6.

Beweis. Sei a, b ein Minimalsystem von L, also nach dem Satz 2.3 von Lagrange eine Gitterbasis. Wir betrachten folgenden Automorphismus von ℂ = ℝ^{2}:

f : ℂ → ℂ, v ↦ f(v) := \frac{v}{a}

Um zu zeigen, daß G′ := fGf^{−1} eine ebene kristallographische Gruppe ist, wenden wir Lemma 3.4 an:

(1) Ist g ∈ O(ℝ^{2}) eine Drehung, so ist fgf^{−1} = g, denn ist ζ ∈ S^{1} eine komplexe Zahl mit g(z) = ζz, so ist

fgf^{−1}(z) = a^{−1}ζaz = ζz

(2) Ist g ∈ O(ℝ^{2}) eine Spiegelung, so ist auch fgf^{−1} eine Spiegelung, denn ist ζ ∈ S^{1} eine komplexe Zahl mit g(z) = ζ\overline{z}, so ist

fgf^{−1}(z) = a^{−1}g(az) = a^{−1}ζ\overline{a}\overline{z}

und es ist a^{−1}ζ\overline{a} ∈ S^{1}, da |a^{−1}\overline{a}| = |a^{−1}||a| = 1.

Nach Lemma 3.4 ist also G′ := fGf^{−1} eine ebene kristallographische Gruppe mit Gitter L′ := f(L) und Punktgruppe H′ = fHf^{−1}. Wir haben gezeigt, daß sogar H^{+} = H^{′+} gilt. Insbesondere ist r_{n} ∈ H′, und somit, da 1 = f(a) ∈ L′ ist, ist nach Theorem 3.3 auch ζ_{n} := e^{2πi/n} = r_{n}(1) ∈ L′.

Wir zeigen nun, daß 1, ζ_{n} ein Minimalsystem von L′ ist. Sie sind offenbar reell linear unabhängig. Für alle z ∈ L′ \ {0} gilt |z| ≥ 1 da es nach Konstruktion ein v ∈ L \ \{0\} mit der Eigenschaft z = \frac{v}{a}, |a| ≤ |v| gibt. Da auch 1 = |ζ_{n}| ist, ist 1, ζ_{n} ein Minimalsystem von L′, also nach dem Satz 2.3 von Lagrange auch eine Gitterbasis von L′.

Wir haben nun folgende Fälle:

(1) Falls n = 4 ist, so ist L′ = ℤ · 1 + ℤi, da ζ_{4} = i.

(2) Falls n = 3 ist, so ist L′ = ℤ · 1 + ℤζ_{3} = ℤ · 1 + ℤζ_{6}, da ζ_{3} + 1 = ζ_{6}

(3) Falls n = 6 ist, so ist L′ = ℤ · 1 + ℤζ_{6}

In jedem Fall bildet die komplexe Konjugation L′ in sich ab. Es ist

\{h ∈ SO(ℝ^{2})|h(L′) = L′\} = \{ \begin{matrix}⟨r_{4}⟩ & falls n = 4 \\ ⟨r_{6}⟩ & falls n = 6, 3 \end{matrix}

Aus Theorem 3.3 folgt nun

H′ ⊂ \{h ∈ O(ℝ^{2})|h(L′) = L′\} = \{ \begin{matrix}D_{4}, & falls n = 4 \\ D_{6}, & falls n = 3 oder 6 \end{matrix}

□

4. Der Fall des quadratischen Gitters

Für die Klassifikation der kristallographischen Gruppen werden öfter die folgende allgemeine Methode verwenden:

Satz 4.1. Sei π : G ⟶ H ein Epimorphismus von Gruppen und {h_{i} | i ∈ I} ein Erzeugendensystem von H.

Wähle, für alle i ∈ I, ein Urbild g_{i} ∈ G mit π(g_{i}) = h_{i}. Dann wird G von den Elementen g_{i} dem Kern Ke(π) erzeugt.

Beweis. Für jedes g ∈ G existieren nach Voraussetzung gewisse Indizes i_{1}, …, i_{m} ∈ I und Zahlen e_{j} ∈ ℤ, so daß π(g) = h_{i_{1}}^{e_{1}} … h_{i_{m}}^{e_{m}} ist. Somit gilt

π(g) = h_{i_{1}}^{e_{1}} … h_{i_{m}}^{e_{m}} = π(g_{i_{1}})^{e_{1}} … π(g_{i_{m}})^{e_{m}} = π(g_{i_{1}}^{e_{1}} … g_{i_{m}}^{e_{m}})

woraus folgt, daß k := g(g_{i_{1}}^{e_{1}} … g_{i_{m}}^{e_{m}})^{−1} ∈ Ke(π) ist. Das bedeutet aber, daß g = kg_{i_{1}}^{e_{1}} … g_{i_{m}}^{e_{m}} im Erzeugnis des Kerns und der g_{i} liegt. □

In dem Fall, der uns interessiert, ist G eine ebene kristallographische Gruppe und

π : G → H

der Epimorphismus auf die Punktgruppe. Der Kern von π besteht genau aus den Translationen aus G, also den Translationen τ_{v} mit v ∈ L. Satz und Definition 4.2. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe, die eine Drehung um \frac{π}{2} enthält (d. h. für ein v ∈ ℝ^{2} ist τ_{v}r_{4} ∈ G).

Dann ist G affin äquivalent zu einer der folgenden drei Bewegungsgruppen:

(1) ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}⟩

(2) ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}, s⟩

(3) ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩

Beweis. Nach Satz 3.6 können wir annehmen, daß G die folgenden Eigenschaften hat: Das Gitter von G ist ℤ·1+ℤ·i, die Punktgruppe H von G ist H = ⟨r_{4}⟩ oder H = D_{4} (da H ⊂ D_{4}).

Wegen Lemma 3.5 kann zusätzlich sogar angenommen werden, daß r_{4} ∈ G ist. Also sind die Drehungen bereits ihre eigenen Urbilder. Um das in Satz 4.1 beschriebene Prinzip anzuwenden, müssen wir höchstens noch das Urbild einer Spiegelung in H bestimmen. Falls die Punktgruppe H = ⟨r_{4}⟩ ist, so entfällt auch dieser Schritt und wir erhalten

G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}⟩

Wir betrachten nun den Fall, daß die Punktgruppe H die volle Diedergruppe D_{4} ist: H = ⟨r_{4}, s⟩. Dabei bezeichnet s die komplexe Konjugation. Nach Definition der Punktgruppe gibt es eine komplexe Zahl v = α + βi, so daß g := τ_{v}s ∈ G ist. Dann ist auch gr_{4} = τ_{v}sr_{4} ∈ G. Nach Lemma 3.5 sind also die Elemente

v + s(v) = v + \overline{v} = 2α

und

v + sr_{4}(v) = v − i\overline{v} = α + βi − i(α − βi) = α − β + (β − α)i

in L. Da das quadratische Gitter L = ℤ1 + ℤi ist, folgt daraus:

2α, α − β ∈ ℤ

Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Ist 2α gerade, so ist α ∈ ℤ, β ∈ ℤ, damit v ∈ L und τ_{v} ∈ G. Somit liegt bereits s ∈ G und ist sein eigenes Urbild. Wir haben in diesem Fall also

G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}, s⟩

Die andere Möglichkeit ist, daß 2α ungerade ist, also α halbzahlig ist. Da α − β ganzzahlig ist, muß dann auch β halbzahlig sein. Es gibt also k, l ∈ ℤ, so daß α = \frac{1}{2} + k, β = \frac{1}{2} + l. Wir haben dann

v = α + βi = \frac{1 + i}{2} + k + il ∈ L

Da τ_{v}s = τ_{k+li}τ_{\frac{1+i}{2}} s ∈ G ist, muß dann auch τ_{\frac{1+i}{2}} s ∈ G liegen. Da dieses Element in der Punktgruppe auf s abgebildet wird, haben wir das gesuchte Urbild gefunden und es ist

G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r_{4}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩

die letzte Gruppe, die in der Behauptung angegeben war. □

Bemerkung 4.3. Wir wollen nun die drei Gruppen aus 4.2 beschreiben. Dazu sei

(1) r die Drehung um \frac{π}{2} mit Mittelpunkt \frac{1+i}{2}

(2) h die Spiegelung an der Geraden durch 0 und 1 + i

(3) h′ die Spiegelung an der Geraden durch \frac{i}{2} und \frac{1}{2}.

Dann gilt

r = τ_{1}r_{4} h = r_{4}s h′ = τ_{\frac{1+i}{2}} sr_{4}

Beweis. Da wir wissen, daß τ_{1}r_{4} eine Drehung ist, genügt es zum Beweis der ersten Gleichung, den Drehpunkt, also den einzigen Fixpunkt, zu bestimmen. Der ergibt sich aus der folgenden Rechnung:

τ_{1}r_{4}(\frac{1 + i}{2}) = 1 + i\frac{1 + i}{2} = 1 + \frac{i}{2} − \frac{1}{2} = \frac{1 + i}{2}

Die Formel für h ist ein Spezialfall der allgemeinen Formel für das Produkt einer Drehung und einer Spiegelung.

Wir zeigen nun die Formel für h′. Die rechte Seite τ_{\frac{1+i}{2}} sr_{4} ist entweder eine Spiegelung oder eine echte Gleitspiegelung. Da eine echte Gleitspiegelung keine Fixpunkte besitzt, ist die Gleichung gezeigt, wenn wir die Punkte \frac{i}{2} und \frac{1}{2} als Fixpunkte der rechten Seite erweisen. Das ergibt sich aus den Gleichungen

τ_{\frac{1+i}{2}} sr_{4}(\frac{i}{2}) = \frac{1 + i}{2} − \frac{1}{2} = \frac{i}{2} τ_{\frac{1+i}{2}} sr_{4}(\frac{1}{2}) = \frac{1 + i}{2} − \frac{i}{2} = \frac{1}{2}

□

Geometrisch erhalten wir nun die folgende Beschreibung dieser drei Gruppen:

1) G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r⟩ (p4) [figure: i; \frac{1+i}{2}; 1]

2) G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r, h⟩ (p4m) [figure: i; \frac{1+i}{2}; 1]

{3) G = ⟨τ_{1}, τ_{i}, r, h′⟩ \atop (p4g)} [figure: i; \frac{1+i}{2}; 1; \frac{i}{2}; \frac{1}{2}]

Setzt man in den schraffierten ”Fundamentalbereich“ ein beliebiges Motiv, wendet darauf die erzeugenden r, h bzw. g an und anschließend alle Translationen in T, so erhält man (im allgemeinen) ebene Ornamente mit obigen Symmetriegruppen (vgl. die Bilder unten).

5. Die Klassifikation

Für Untergruppen H ⊂ O(ℝ^{2}) sei H^{+} := H ∩ SO(ℝ^{2}). Dann gilt H = H^{+} oder H = H^{+} ∪ H^{+}h, falls h ∈ H und h ∉ SO(ℝ^{2}). Lemma 5.1. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe mit der Punktgruppe H.

(1) Ist H^{+} = ⟨r_{4}⟩, so ist G affin äquivalent zu einer ebenen kristallographischen Gruppe mit dem Gitter ℤ · 1 + ℤi und der Punktgruppe ⟨r_{4}⟩ oder ⟨r_{4}, s⟩.

(2) Ist H^{+} = ⟨r_{3}⟩ oder ⟨r_{6}⟩, so ist G affin äquivalent zu einer ebenen kristallographischen Gruppe mit dem Gitter ℤ1 + ℤζ_{6} und der Punktgruppe ⟨r_{3}⟩, ⟨r_{3}, s⟩, ⟨r_{3}, r_{6}s⟩, ⟨r_{6}⟩ oder ⟨r_{6}, s⟩.

Beweis. Das folgt aus Satz 3.6 und der Kenntnis der Untergruppen von D_{4} und D_{6}. □

Lemma 5.2. Sei G eine ebene kristallographische Gruppe mit der Punktgruppe H. Ist H^{+} = ⟨r_{1}⟩ = {id} oder ⟨r_{2}⟩, so ist G affin äquivalent zu einer ebenen kristallographischen Gruppe mit dem Gitter ℤ · 1 + ℤ · i und der Punktgruppe ⟨r_{1}⟩, ⟨r_{2}⟩, ⟨s⟩, ⟨r_{4}s⟩ oder ⟨r_{2}, s⟩, ⟨r_{2}, r_{4}s⟩.

Beweis. (1) Zunächst zeigen wir, daß es eine zu G affin äquivalente ebene kristallographische Gruppe gibt, deren Gitter L′ eine Gitterbasis 1, b mit den Eigenschaften

1 = Min{|v||0 ≠ v ∈ L′}
|b| = Min{|v| | v ∈ L′, 1, v reell linear unabhängig}
b = c + id, c, d ∈ ℝ, c ≥ 0

besitzt.

Sei a, b ein Minimalsystem des Gitters L von G. Wie wir im Beweis von Satz 3.6 gesehen haben, ist G affin äquivalent zu einer ebenen kristallographischen Gruppe mit dem Gitter ℤ1 + ℤ\frac{b}{a} = \frac{1}{a}L = L′. Dann ist 1, \frac{b}{a} auch ein Minimalsystem von L′.

Schreibt man \frac{b}{a} = c + id, c, d ∈ ℝ, so kann man durch eventuelle Multiplikation mit −1 erreichen, daß c ≥ 0 ist.

Wir dürfen also im folgenden annehmen, daß das Gitter L von G eine solche Gitterbasis 1, b besitzt.

(2) Wir unterscheiden nun mehrere Fälle: Im ersten Fall enthält H keine Spiegelung, also ist H = ⟨r_{1}⟩ oder ⟨r_{2}⟩. Sei f : ℂ → ℂ der ℝ-lineare Isomorphismus mit f(1) = 1, f(b) = i. Dann ist fHf^{−1} ⊂ O(ℝ^{2}), da r_{1} = id und r_{2} = −id mit allen ℝ-linearen Endomorphismen vertauschen und somit frf^{−1} = r für r = r_{1}, r_{2} gilt.

Aus Lemma 3.4 folgt also, daß G′ := fGf^{−1} eine ebene kristallographische Gruppe ist, die affin äquivalent zu G ist und deren Gitter f(L) = ℤ1 + ℤi ist.

(3) Im zweiten Fall enthält H eine Spiegelung h. Es ist dann

h(z) = ζ\overline{z}

wobei ζ ∈ S^{1}. Wir betrachten zunächst den Fall ζ ∉ {1, −1}. Es ist also H = ⟨h⟩ oder ⟨r_{2}, h⟩.

Da H nach Theorem 3.3 auf L operiert, gilt ζ = h(1) ∈ L. Also sind 1 und ζ reell linear unabhängige Elemente in L. Da

|ζ| = 1 = Min{|v||v ∈ L, v, 1 reell linear unabhängig}

ist 1, ζ ein Minimalsystem von L, und somit gilt nach dem Satz von Lagrange L = ℤ1 + ℤζ:

[figure: ζ; 1]

Sei f : ℂ → ℂ der ℝ-lineare Isomorphismus mit f(1) = 1, f(ζ) = i. Dann ist fr_{2}f^{−1} = r_{2} und fhf^{−1} = r_{4}s, da

(fhf^{−1})(1) = f(ζ) = i (r_{4}s)(1) = i

und

(fhf^{−1})(i) = f \underbrace{(h(ζ))}_{=1} = 1 (r_{4}s)(i) = i(−i) = 1

Nach Lemma 3.4 ist also G′ := fGf^{−1} eine zu G affin äquivalente ebene kristallographische Gruppe mit dem Gitter f(L) = ℤ1 + ℤi und der Punktgruppe ⟨r_{4}s⟩ oder ⟨r_{2}, r_{4}s⟩.

(4) Im dritten Fall nehmen wir an, daß H ebenfalls eine Spiegelung h enthält;

h(z) = ζ\overline{z}

wobei aber nun ζ ∈ {1, −1} gelten soll, d. h. h = s oder r_{2}s, also H = ⟨s⟩, ⟨r_{2}s⟩ oder ⟨r_{2}, s⟩. Außerdem nehmen wir im dritten Fall an, daß c = 0 ist, also der zweite Gitterbasisvektor rein imaginär ist:

[figure: b; 1]

Sei zunächst h = s und f : ℂ → ℂ der ℝ-lineare Isomorphismus mit f(1) = 1, f(b) = i. Dann ist fsf^{−1} = s, da sowohl fsf^{−1} als auch s die 1 erhalten und aus c = 0 folgt:

(fsf^{−1})(i) = f(s(b)) = f(−b) = −i s(i) = −i

Da r_{2} einfach die Multiplikation mit −1 ist, gilt auch auch fr_{2}sf^{−1} = r_{2}s. Also ist nach Lemma 3.4 G′ := fGf^{−1} eine zu G affin äquivalente ebene kristallographische Gruppe, mit dem Gitter f(L) = ℤ · 1 + ℤ · i und der Punktgruppe ⟨s⟩ oder ⟨r_{2}, s⟩.

Den Fall, daß h = r_{2}s ist, führen wir auf diesen Fall zurück: Falls G′ die Punktgruppe ⟨r_{2}s⟩ hat, so kann man folgendermaßen zu der affin äquivalenten Gruppe mit dem gleichem Gitter ℤ · 1 + ℤ · i und der Punktgruppe ⟨s⟩ übergehen: Sei φ : ℂ → ℂ der ℝ-lineare Isomorphismus mit

φ(1) = i φ(i) = 1

Dann gilt

(φr_{2}sφ^{−1})(1) = φ(−(−i)) = 1 (φr_{2}sφ^{−1})(i) = φ(−1) = −i

und somit φr_{2}sφ^{−1} = s. Selbstverständlich gilt auch fr_{2}f^{−1} = r_{2}.

(5) Im vierten Fall nehmen wir an, daß H wiederum eine Spiegelung h

h(z) = ζ\overline{z}

mit ζ ∈ {1, −1} enthält. Wie im dritten Fall ist also h = s oder r_{2}s und damit H = ⟨s⟩, ⟨r_{2}s⟩ oder ⟨r_{2}, s⟩. Im Gegensatz zum dritten Fall nehmen wir aber nun an, daß c ≠ 0 ist. Da nach Theorem 3.3 H auf L operiert, gilt s(b) = \overline{b} ∈ L oder r_{2}s(b) = −\overline{b} ∈ L. In beiden Fällen ist b + \overline{b} = 2c ∈ L. Da nach Konstruktion 1, b ein Minimalsystem ist, gilt dann 1 ≤ 2c.

Wäre nun 2c echt größer als 1, so wäre |c − 1| < c, denn stets ist c − 1 < c, und 1 − c < c gilt wegen 1 < 2c. Also wäre |b − 1| = |c − 1 + id| = \sqrt{(c − 1)^{2} + d^{2}} < \sqrt{c^{2} + d^{2}} = |b|. Da 1, b − 1 reell linear unabhängig sind, steht das im Widerspruch zur Minimalität von |b|. Das zeigt, daß c = \frac{1}{2}.

[figure: b; 1; \frac{1}{2}]

Sei nun f : ℂ → ℂ der ℝ-lineare Isomorphismus mit

f(1) = 1 + i f(b) = 1

Dann gilt fr_{2}f^{−1} = r_{2} und fsf^{−1} = r_{4}s, da aus c = \frac{1}{2} die Gleichung \overline{b} = 1 − b folgt und somit gilt

(fsf^{−1})(1) = f(\overline{b}) = f(1 − b) = f(1) − f(b) = 1 + i − 1 = i

in Übereinstimmung mit (r_{4}s)(1) = i, und

(fsf^{−1})(1 + i) = f(1) = 1 + i

in Übereinstimmung mit (r_{4}s)(1 + i) = i(1 − i) = 1 + i. Aus diesen Gleichungen folgt auch fr_{2}sf^{−1} = r_{2}r_{4}s.

Damit folgt wie oben aus Lemma 3.4, daß G′ := fGf^{−1} eine zu G affin äquivalente ebene kristallographische Gruppe ist, mit dem Gitter f(L) = ℤ(1+i)+ℤ·1 = ℤ·1+ℤ·i und der Punktgruppe ⟨r_{4}s⟩, ⟨r_{4}r_{2}s⟩, ⟨r_{2}, r_{4}s⟩

Falls G′ die Punktgruppe ⟨r_{4}r_{2}s⟩ besitzt, so kann man wieder zu einer affin äquivalenten Gruppe mit gleichem Gitter ℤ1 + ℤi und der Punktgruppe ⟨r_{4}s⟩ übergehen, nämlich mittels des ℝ-linearen Isomorphismus φ : ℂ → ℂ mit

φ(1) = i φ(i) = −1

also mit φ = r_{4}. Denn aus

(φr_{4}r_{2}sφ^{−1})(i) = φ(−i) = 1

und (r_{4}s)(i) = i(−i) = 1 einerseits, und

(φr_{4}r_{2}sφ^{−1})(1) = φ(i(−i)) = i

und(r_{4}s)(1) = i andererseits folgt φr_{4}r_{2}sφ^{−1} = r_{4}s. In allen Fällen ist also G auf die gewünschte Gestalt transformiert worden.

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Theorem 5.3. Jede ebene kristallographische Gruppe ist affin äquivalent zu einer der 17 Gruppen G in der folgenden Liste. Dabei ist T := {τ_{v}|v ∈ ℤ·1+ℤ·i}, T′ := {τ_{v}|v ∈ ℤ · 1 + ℤ · ζ_{6}}, links stehen die zugehörigen Punktgruppen, rechts die internationale Bezeichnung.

H  G
C_{1} = ⟨r_{1}⟩  T  p1
C_{2} = ⟨r_{2}⟩  ⟨T, r_{2}⟩  p2
D_{1} = ⟨s⟩  ⟨T, s⟩  pm
⟨T, τ_{\frac{1}{2}} s⟩  pg
D_{2} = ⟨r_{2}, s⟩ ⟨T, r_{2}, s⟩  pmm
⟨T, r_{2}, τ_{\frac{i}{2}} s⟩ pmg
⟨T, r_{2}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩ pgg
D_{1} ≅ ⟨r_{4}s⟩ ⟨T, r_{4}s⟩ cm
D_{2} ≅ ⟨r_{2}, r_{4}s⟩ ⟨T, r_{2}, r_{4}s⟩ cmm
C_{4} = ⟨r_{4}⟩ ⟨T, r_{4}⟩ p4
D_{4} = ⟨r_{4}, s⟩ ⟨T, r_{4}, s⟩  p4m
⟨T, r_{4}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩ p4g
C_{3} = ⟨r_{3}⟩ ⟨T′, r_{3}⟩ p3
D_{3} = ⟨r_{3}, s⟩ ⟨T′, r_{3}, s⟩  p31m
D_{3} ≅ ⟨r_{3}, r_{6}s⟩ ⟨T′, r_{3}, r_{6}s⟩ p3m1
C_{6} = ⟨r_{6}⟩ ⟨T′, r_{6}⟩ p6
D_{6} = ⟨r_{6}, s⟩ ⟨T′, r_{6}, s⟩  p6m

Beweis. Wegen Lemma 5.1 und Lemma 5.2 genügt es, die folgenden 13 Fälle zu untersuchen, die alle mit der gleichen Methode behandelt werden:

Betrachte den Epimorphismus τ : G → H. Hier ist G unbekannt, aber Ke τ = T oder T′ und H sind bekannt. Nach Satz 4.1 wird G von Ke τ und beliebigen Urbildern der Erzeugenden von H erzeugt.

Urbilder der Erzeugenden von H findet man mit der folgenden einfachen Beobachtung aus Lemma 3.5: Ist h ∈ H eine Spiegelung, τ_{v}h ∈ G, so ist v + h(v) ∈ L.

Falls dies nicht genügt, geht man zu einer affin äquivalenten Gruppe τ_{w}Gτ_{w}^{−1} mit passender Translation τ_{w} über und sucht dort Urbilder. L und H ändern sich hierbei nicht.

Sei also G eine ebene kristallographische Gruppe mit dem Gitter L und der Punktgruppe H. Nach Lemma 3.5 können wir H^{+} ⊂ G annehmen.

(1) Ist L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{1}⟩, so ist G = T. Damit liegt der Fall p1 vor.

(2) Ist L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{2}⟩ ⊂ G, so ist G = ⟨T, r_{2}⟩. Damit liegt der Fall p2 vor.

(3) Sei L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨s⟩. Da s ∈ H ist, gibt es ein v ∈ ℝ^{2} mit g := τ_{v}s ∈ G. Schreibe v = α + iβ, α, β ∈ ℝ. Dann gilt nach Lemma 3.5 v + \overline{v} = 2α ∈ L = ℤ1 + ℤi und somit 2α ∈ ℤ.

Gemäß dem oben beschriebenen Prinzip suchen wir nun ein w = x + iy ∈ ℂ, x, y ∈ ℝ, so daß τ_{w}gτ_{−w} = τ_{α}s ist. Es ist

τ_{w}τ_{v}sτ_{−w} = τ_{w+v−\overline{w}}s = τ_{α}s

also muß

w + v − \overline{w} = α + (β + 2y)i = α

sein. Setzen wir also w := −\frac{β}{2} i, so ist G′ := τ_{w}Gτ_{−w} affin äquivalent zu G, und τ_{α}s ∈ G′. Wir unterscheiden nun zwei Fälle:

(1) Ist 2α gerade, so ist α ∈ ℤ · 1 ⊂ L. Da τ_{α}s ∈ G′, ist dann auch s ∈ G′. Nach Satz 4.1 ist also G′ = ⟨T, s⟩. Damit liegt der Fall pm vor.

(2) Ist 2α ungerade, so ist α ∈ \frac{1}{2} + ℤ. Da τ_{α}s ∈ G′ ist, folgt τ_{\frac{1}{2}} s ∈ G′ und somit G′ = ⟨T, τ_{\frac{1}{2}} s⟩. Damit liegt der Fall pg vor.

(4) Sei nun L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{2}, s⟩, wobei wir, wie gesagt, r_{2} ∈ G annehmen können. Dann gibt es v ∈ ℝ^{2} mit g := τ_{v}s ∈ G, und damit auch gr_{2} = τ_{v}sr_{2} ∈ G. Aus Lemma 3.5 folgt dann v + \overline{v}, v − \overline{v} ∈ L. Schreibt man also v in der Form v = α + iβ mit α, β ∈ ℝ, so folgt 2α ∈ ℤ, 2β ∈ ℤ. Wir unterscheiden nun wieder mehrere Fälle:

(1) Sind 2α, 2β gerade, so gilt α, β ∈ ℤ und damit v ∈ L. Da τ_{v}s ∈ G ist, ist dann s ∈ G, und somit gilt nach Satz 4.1 G = ⟨T, r_{2}, s⟩. Damit liegt der Fall pmm vor.

(2) Ist 2α gerade, aber 2β ungerade, so ist α ∈ ℤ, β ∈ \frac{1}{2} + ℤ. Da τ_{v}s ∈ G, folgt τ_{\frac{i}{2}} s ∈ G und somit G = ⟨T, r_{2}, τ_{\frac{i}{2}} s⟩. Damit liegt der Fall pmg vor.

(3) Ist 2α ungerade, 2β gerade, so ist α ∈ \frac{1}{2} + ℤ, β ∈ ℤ. Da τ_{v}s ∈ G, folgt τ_{\frac{1}{2}} s ∈ G und somit G = ⟨T, r_{2}, τ_{\frac{1}{2}} s⟩.

(4) Ist 2α ungerade, 2β ungerade, so ist α ∈ \frac{1}{2} + ℤ, β ∈ \frac{1}{2} + ℤ. Wie oben ist dann τ_{\frac{1}{2} + \frac{i}{2}} s ∈ G und somit G = ⟨T, r_{2}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩. Damit liegt der Fall pgg vor.

Dabei erweisen sich die Gruppen des 2. und 3. Falles allerdings als affin äquivalent: Da r_{4}r_{2}r_{4}^{−1} = r_{2} und

r_{4}τ_{\frac{1}{2}} sr_{4}^{−1} = r_{4}τ_{\frac{1}{2}} r_{4}s = τ_{r_{4}( \frac{1}{2} )}r_{4}^{2}s = τ_{\frac{i}{2}} r_{2}s = τ_{\frac{i}{2}} sr_{2}

ist, folgt r_{4}⟨T, r_{2}, τ_{\frac{1}{2}} s⟩r_{4}^{−1} = ⟨T, r_{2}, τ_{\frac{i}{2}} s⟩.

(5) Sei nun L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{4}s⟩. Dann gibt es v = α + iβ mit g := τ_{v}r_{4}s ∈ G. Wie oben folgt dann aus Lemma 3.5, daß

v + i\overline{v} = (α + β)(1 + i) ∈ L

und somit α + β ∈ ℤ.

Um zu einer affin äquivalenten Gruppe überzugehen, die r_{4}s ∈ G enthält, suchen wir wie oben ein passendes w = x + iy, x, y ∈ ℝ. Es ist

τ_{w}gτ_{−w} = τ_{w+v−i\overline{w}}r_{4}s

wobei w + v − i\overline{w} ∈ L. Nun gilt:

w + v − i\overline{w} = x + iy + α + iβ − i(x − iy) = x + α − y + (β + y − x)i

Setzt man also x := 0, y := α, d. h. w = iα, so folgt

w + v − i\overline{w} = (α + β)i ∈ L

Somit enthält die Gruppe G′ := τ_{w}Gτ_{−w} das Element r_{4}s. Nach Satz 4.1 folgt G′ = ⟨T, r_{4}s⟩. Es liegt also der Fall cm vor.

(6) Sei nun L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{2}, r_{4}s⟩, wobei wir wieder r_{2} ∈ G annehmen können. Dann gibt es ein v = α + iβ mit

g := τ_{v}r_{4}s ∈ G gr_{2} = τ_{v}r_{4}^{3}s ∈ G

Nach Lemma 3.5 gilt dann

v + i\overline{v} = (α + β)(1 + i) ∈ L v − i\overline{v} = α − β + i(β − α) ∈ L

Somit sind α + β und α − β in ℤ, woraus auch 2α, 2β ∈ ℤ folgt. Setzt man wie in (5) w := iα, so folgt, daß G′ := τ_{w}Gτ_{−w} die Elemente τ_{w}r_{2}τ_{−w} = τ_{2w}r_{2} und

τ_{w}τ_{v}r_{4}sτ_{−w} = τ_{w+v−i\overline{w}}r_{4}s

enthält. Außerdem ist w + v − i\overline{w} = (α + β)i ∈ L, da α + β ∈ ℤ, und 2w = 2αi ∈ L, da 2α ∈ ℤ. Somit sind r_{2}, r_{4}s ∈ G′, woraus nach Satz 4.1 G′ = ⟨T, r_{2}, r_{4}s⟩ folgt. Es liegt also der Fall cmm vor.

(7) Sei nun L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{4}⟩. Da wir, wie gesagt, annehmen können, daß Drehungen in der Gruppe G enthalten sind, folgt dann G = ⟨T, r_{4}⟩. Damit liegt der Fall p4 vor.

(8) Sei nun L = ℤ1 + ℤi und H = ⟨r_{4}, s⟩. Wie wir in Satz 4.2 gezeigt haben, ist dann G = ⟨T, r_{4}, s⟩ oder G = ⟨T, r_{4}, τ_{\frac{1+i}{2}} s⟩. Es liegen also die Fälle p4m oder p4g vor.

(9) Wir beginnen nun mit der Behandlung des hexagonalen Gitters. Sei also L = ℤ1 + ℤζ_{6}. Ist dann H = ⟨r_{3}⟩, so können wir, wie schon mehrfach festgestellt, nach Lemma 3.5 r_{3} ∈ G annehmen. Dann ist G = ⟨T′, r_{3}⟩ und es liegt der Fall p3 vor.

(10) Sei nun L = ℤ1 + ℤζ_{6} und H = ⟨r_{3}, s⟩, wobei wir wieder r_{3} ∈ G annehmen. Dann gibt es v ∈ ℂ mit g := τ_{v}s ∈ G. Damit liegt auch gr_{3} = τ_{v}r_{3}^{2}s in G, und damit folgt aus Lemma 3.5, daß

v + \overline{v}, v + ζ_{3}^{2}\overline{v} ∈ L = ℤ1 + ℤζ_{6}

Nun ist ζ_{3}^{2} = ζ_{6}^{4} = −ζ_{6}, da ζ_{6}^{3} = −1. Setzt man nun G′ := τ_{v}Gτ_{−v}, so sind die Elemente

τ_{v}r_{3}τ_{−v} = τ_{v−ζ_{3}v}r_{3} τ_{v}gr_{3}^{2}τ_{−v} = τ_{v}τ_{v}r_{3}sτ_{−v} = τ_{2v−ζ_{3}\overline{v}}r_{3}s

in G′ enthalten. Nun gilt v + \overline{v}, v − ζ_{6}\overline{v} ∈ L, woraus man einerseits durch Subtraktion \overline{v} + ζ_{6}\overline{v} ∈ L erhält. Da die komplexe Konjugation das Gitter erhält, folgt daraus

v − ζ_{3}v ∈ L

Andererseits folgt daraus durch Addition, daß

v + \overline{v} + v − ζ_{6}\overline{v} = 2v − ζ_{3}\overline{v} ∈ L

da ζ_{6} = 1 + ζ_{3} ist. Also sind r_{3}, r_{3}s ∈ G′, woraus sich G′ = ⟨T′, r_{3}, s⟩ ergibt. Es liegt also der Fall p31m vor.

(11) Sei nun L = ℤ1 + ℤζ_{6}, und H = ⟨r_{3}, r_{6}s⟩, wobei wir wieder r_{3} ∈ G annehmen können. Dann gibt es v ∈ ℂ mit g := τ_{v}r_{6}s ∈ G. Damit liegt auch

gr_{3} = τ_{v}r_{6}sr_{3} = τ_{v}r_{6}r_{3}^{−1}s = τ_{v}r_{6}r_{3}^{2}s = τ_{v}r_{6}^{5}s

in G. Da 1 und ζ_{6} reell linear unabhängig sind, können wir v in der Form v = α + βζ_{6} mit α, β ∈ ℝ schreiben. Damit folgt aus Lemma 3.5, daß die Vektoren v + ζ_{6}\overline{v} = α + β + (α + β)ζ_{6} und

v + \overline{ζ_{6}}\overline{v} = α + βζ_{6} + (1 − ζ_{6})(α + β\overline{ζ}_{6}) = α(2 − ζ_{6}) + β(ζ_{6} + \overline{ζ}_{6} − 1) = 2α − αζ_{6}

in L liegen. Daraus folgt α + β ∈ ℤ, α ∈ ℤ und somit auch α, β ∈ ℤ. Also ist v ∈ L und somit r_{6}s ∈ G. Daraus folgt nach Satz 4.1, daß G = ⟨T′, r_{3}, r_{6}s⟩. Damit liegt der Fall p3m1 vor.

(12) Sein nun L = ℤ1+ℤζ_{6} und H = ⟨r_{6}⟩. Da wir nach Lemma 3.5 r_{6} ∈ G annehmen können, ist dann G = ⟨T′, r_{6}⟩. Also liegt der Fall p6 vor.

(13) Sei nun L = ℤ1 + ℤζ_{6} und H = ⟨r_{6}, s⟩. Wir können wieder r_{6} ∈ G annehmen. Es gibt dann ein v ∈ ℂ mit g := τ_{v}s ∈ G, und somit auch gr_{6} ∈ G. Nach Lemma 3.5 sind dann die Vektoren v + \overline{v} und v + sr_{6}(v) = v + \overline{ζ}_{6}\overline{v} in L. Subtrahiert man diese Vektoren voneinander, so sieht man, daß

(1 − \overline{ζ}_{6})\overline{v} = ζ_{6}\overline{v} ∈ L

und damit \overline{v} ∈ \overline{ζ}_{6}L = L ist. Da das Gitter unter der komplexen Konjugation invariant ist, folgt v ∈ L. Somit ist s ∈ G und damit G = ⟨T′, r_{6}, s⟩. Es liegt also der Fall p6m vor.

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Literatur

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[14] H.-J. Schneider: Ebene kristallographische Gruppen, Ergänzung zur Vorlesung MIB, München, 1997

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