Mathematisches Institut und WS 2000/2001 Sektion Physik der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis, Priv. Doz. Dr. P. Schauenburg, Prof. Dr. J. Wess

Quantengruppen und konforme Feldtheorie

Vortragsplan

1. Vortrag: Tensorkategorien und Quasisymmetrien

• Ziel: Definition von abelschen, halbeinfachen, monoidalen, quasisymmetrischen Kategorien. Erklärung der Dominanz in [11] und Vergleich mit [1].

• Literatur: [1], Kap. 1, 2, [11], Abschn. I.1, II.4 [7], [9].

2. Vortrag: 6j-Symbole

• Ziel: Definition der 6j-Symbole in einer halbeinfachen Bandkategorie, Herleitung der Biedenharn-Elliot-Identität. Überblicksartig: Graphische Beschreibung der 6j-Symbole.

• Literatur: [11], Abschn. VI.1, S. 301, siehe auch [3].

3. Vortrag: Die 6j-Symbole für die Liealgebra sl(2, ℂ)

• Ziel: Beschreibung der Darstellungen der Liealgebra sl(2, ℂ), explizite Berechnung der 6j-Symbole.

• Literatur: [3], Kap. 2, [5], Abschn. II.7, S. 31.

4. Vortrag: Modulare Kategorien

• Ziel: Definition modularer Kategorien, Herleitung elementarer Identitäten für die Verlinde-Matrix S, das Drinfel’d-Doppel einer endlichen Gruppe als Beispiel.

• Literatur: [1], Kap. 3.

5. Vortrag: 3-Mannigfaltigkeiten

• Ziel: Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten durch Chirurgie entlang Verschlingungen. Beschreibung des Kirby-Kalküls. Erklärung der Reshetikhin-Turaev-Invariante einer 3-Mannigfaltigkeit.

• Literatur: [1], Abschn. 4.1.

6. Vortrag: Topologische Quantenfeldtheorie

• Ziel: Definition einer topologische Quantenfeldtheorie, Zusammenhang mit Frobeniusalgebren. Konstruktion einer topologischen Quantenfeldtheorie aus einer modularen Tensorkategorie.

• Literatur: [1], Kap. 4, siehe auch [11], Kap. III.

7. Vortrag: Graphen und Flächen

• Ziel: Beschreibung zweidimensionaler Flächen durch Äquivalenzklassen von Graphen, Beschreibung der erforderlichen Züge (Darstellung im Überblick ohne Beweise).

• Literatur: [2], [1], Abschn. 5.2.

8. Vortrag: Modulare Funktoren

• Ziel: Definition modularer Funktoren, Zusammenhang mit Bandkategorien.

• Literatur: [1], Kap. 5, vor allem Thm. 5.4.1, siehe auch [11], Kap. V.

Literatur

[1] B. Bakalov/A. Kirillov Jr.: Lectures on tensor categories and modular functor, Preprint, 2000, (http://www.math.sunysb.edu/∼kirillov/listofpapers.html)

[2] B. Bakalov/A. Kirillov Jr.: On the Lego-Teichmüller game, Preprint, mathGT/9809057, erscheint in Transf. Groups

[3] J. Scott Carter/D. E. Flath/M. Saito: The classical and quantum 6jsymbols, Mathematical Notes, Band 43, Princeton Univ. Press, Princeton, 1995

[4] P. Deligne/P. Etingof/D. S. Freed/D. Kazhdan/J. W. Morgan/D. R. Morrison/E. Witten (Hrsg.): Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Band 2, Am. Math. Soc., Providence, 1999

[5] J. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory, Grad. Texts Math., Band 9, Springer, Berlin, 1978 [6] T. Kerler: Mapping class group actions on quantum doubles, Com-

mun. Math. Phys. 168 (1994), 353-388, hep-th/9402017

[7] S. MacLane: Categories for the working mathematician, Springer, Berlin, 1971

[8] B. Mitchell: Theory of categories, Academic Press, New York, 1965

[9] B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner, Stuttgart, 1969

[10] H. Schubert: Kategorien I, Springer, Berlin, 1970

[11] V. G. Turaev: Quantum invariants of knots and 3-manifolds, de Gruyter Stud. Math., Band 18, de Gruyter, Berlin, 1994