| Vorlesung: |
montags, 10:15-11:55 Uhr, mittwochs, 8:15-9:55 Uhr und donnerstags, 12:15-13:55 Uhr,
jeweils im Hörsaal B 138
Hinweis:
In der ersten Globalübung wiederholen
wir die bereits aus der Linearen Algebra bekannten Restklassenringe und die
symmetrischen Gruppen und wenden die in der Algebra neu eingeführten
Konzepte darauf an.
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| Globalübung: |
dienstags 16:15-17:45 Uhr im Hörsaal B 138 |
| Dozent: |
Dr. Ralf Gerkmann |
| Klausurtermin: |
war am Samstag, 15. Februar 2025, 9:30-11:30 Uhr
Klausurergebnisse
Für die Klausureinsicht schicken Sie mir von Ihrem
Campus-Account aus eine Email mit dem Betreff
„Klausureinsicht Algebra und Zahlentheorie“,
Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Bitte beachten Sie, dass
es sich nur um ein vorläufiges Ergebnis handelt, da
das Ergebnis mit der „Algebra und Zahlentheorie II“
im kommenden Semester verrechnet wird.
Klausur vom 15.02.25 ohne und
mit Lösung
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| Nachklausurtermin: |
Montag, 14. April, 12:30-14:30 Uhr, Hörsaal C 123 |
| Vorlesungsskript: |
Stand 3. Februar, 223 Seiten (PDF)
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| Übungsblätter: |
sind demnächst über Moodle verfügbar |
| Übungsgruppen: |
Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt unter Moodle.
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| Vorlesungsverlauf: |
Die Aufzeichnungen der Vorlesungen und Globalübungen sind
unter
LMUCast
verfügbar.
(Die Vorlesungen vom 6.11., 20.11 und vom 16.01. wurden leider nur zur
Hälfte aufgezeichnet.)
| Datum | Inhalt |
Skript |
| 14.10.24 |
Definition der Gruppen, Beispiele | 3-6 |
| 16.10.24 |
Permutationsgruppen und Symmetriegruppen | 6-11 |
| 17.10.24 |
Direkte Produkte, Monoide, Klassifikation bis auf Isomorphie |
11-16 |
| 21.10.24 |
Untergruppen und Erzeugendensysteme | 16-22 |
| 22.10.24 |
Globalübung: Diedergruppen und Kongruenzklassen | |
| 23.10.24 | Erzeugendensysteme von Sn und An,
Linksnebenklassen | 22-26 |
| 24.10.24 | Der Satz von Lagrange | 26-31 |
| 28.10.24 | Die Ordnung der Gruppenelemente | 31-34 |
| 30.10.24 | Die Struktur der zyklischen Gruppen |
34-37 |
| 31.10.24 | Charakterisierung zyklischer Gruppen,
Homomorphismen | 37-42 |
| 04.11.24 | Eindeutigkeit und Existenz von Gruppenhomomorphismen |
42-45 |
| 06.11.24 | Normalteiler und Komplexprodukte |
45-49 |
| 07.11.24 | Faktorgruppen und Homomorphiesatz |
49-53 |
| 11.11.24 | Korrespondenz- und Isomorphiesätze |
53-56 |
| 13.11.24 | Der Hauptsatz über endlich erzeugte
abelsche Gruppen | 57-63 |
| 14.11.24 | Äußere direkte Produkte |
63-68 |
| 18.11.24 | Kommutatorgruppen und Auflösbarkeit |
68-70 |
| 20.11.24 | Nicht-Auflösbarkeit von An,
Gruppenoperationen |
70-74 |
| 21.11.24 | Bahnzerlegung, Stabilisatoren, Satz von Cayley |
74-79 |
| 25.11.24 | Bahn- und Klassengleichung, Einfachheit der
An, p-Gruppen | 79-88 |
| 27.11.24 | Beweis der Sylowsätze |
88-95 |
| 28.11.24 | Anwendungen der Sylowsätze, Grundbegriffe
Ringtheorie | 95-103 |
| 02.12.24 | Teilringe und Erzeugendensysteme |
103-108 |
| 04.12.24 | Rechenoperationen auf Idealen |
108-113 |
| 05.12.24 | Primideale, Definition der Faktorringe |
113-120 |
| 09.12.24 | Homomorphie- und Korrespondenzsatz,
Konstr. von Ringerw. | 120-125 |
| 11.12.24 | Quotientenkörper und Polynomringe |
125-133 |
| 12.12.24 | Euklidische Ringe und euklidischer Algorithmus |
133-141 |
| 16.12.24 | Irreduzible Elemente und Primelemente, Hauptidealringe |
141-145 |
| 18.12.24 | Faktorielle Ringe | 145-149 |
| 19.12.24 |
Hauptidealringe sind faktoriell, Gauß'sches Lemma |
149-156 |
| 07.01.25 | Folgerungen aus dem Gauß'schen Lemma,
Reduktionskriterien | 156-162 |
| 08.01.25 | Kongruenzrechnung und Chinesischer Restsatz |
162-167 |
| 09.01.25 | Struktur der primen Restklassengruppen,
Erz.-syst. von Teilkörpern | 167-174 |
| 13.01.25 |
Erweiterungsgrade, algebraische Elemente, Minimalpolynome |
174-178 |
| 15.01.25 |
Arithmetische Struktur und Existenz algebraischer Erweiterungen |
178-181 |
| 16.01.25 |
Unendliche algebraische Erweiterungen, quadratische Erw.
von Q |
181-186 |
| 20.01.25 |
Fortsetzung von Körperhom. auf algebraische Erweiterungen |
186-189 |
| 22.01.25 |
Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss |
190-193 |
| 23.01.25 |
Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses, normale Erweiterungen |
193-196 |
| 27.01.25 |
Klassifkation der Primkörper, Elementezahl endlicher Körper |
196-205 |
| 29.01.25 |
Existenz und Eindeutigkeit der endlichen Körper |
205-209 |
| 30.01.25 |
Separable Erweiterungen, Satz vom primitiven Element |
209-212 |
| 03.02.25 |
Separabilitätsgrad und Zwischenkörper |
212-215 |
| 05.02.25 |
Bestimmung einer Galoisgruppe, Kreisteilungspolynome |
215-218 |
| 06.02.25 |
Die Galoisgruppen der Kreisteilungskörper |
218-221 |
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| Inhalt: |
Algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper bilden
die unverzichtbare Grundlage für jedes Teilgebiet der
Mathematik, angefangen beim Lösen elementarer zahlentheoretischer
Probleme oder algebraischer Gleichungen, über die
Klassifikation diskreter geometrischer Strukturen und topologischer
Räume bis hin zu fortgeschrittenen Bereichen wie der Algebraischen
Geometrie oder der Harmonischen Analysis. Auch in vielen Anwendungsgebieten,
in der Informatik beispielsweise in der Kryptographie und in der Theorie der
Programmiersprachen, innerhalb der Physik etwa in der Klassischen Mechanik,
der Quantenmechanik und der Elementarteilchenphysik, spielen sie eine wichtige
Rolle.
Im Gegensatz zum letzten Jahr behandeln wir die drei wichtigsten Teilgebiete der Algebra
(Gruppen-, Ring-
und Körpertheorie) diesmal wieder getrennt, wobei wir allerdings den theoretischen
Konzepten, die in allen drei Gebieten auftreten (zum Beispiel Faktorstrukturen und
Homomorphiesätze), besondere Beachtung schenken. Beim Aufbau der Gruppentheorie
orientieren uns unter andrem am sog. Klassifikationsproblem, bei dem wir
vor allem durch die zuletzt behandelten Sylowsätze entscheidende Fortschritte
erzielen werden. Bei der Ringtheorie stehen als Motivation vor allem Probleme der
klassischen Zahlentheorie im Vordergrund. Im letzten Teil der Vorlesung
befassen wir uns mit der Theorie der algebraischen Körpererweiterungen.
Den krönenden Abschluss der Algebra wird die (im Sommersemester behandelte)
Galoistheorie bilden, bei der die Gruppen- und die Körpertheorie miteinander
verbunden werden.
Im Einzelnen werden
in der Vorlesung folgende Themen behandelt.
- Definition der algebraischen Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper
- Homomorphismen, Unter- und Faktorstrukturen, Konstruktion von Erweiterungen
- zyklische und abelsche Gruppen
- (semi-)direkte Produkte und Auflösbarkeit
- Gruppenoperationen und Sylowsätze
- Kongruenzrechnung
- Teilbarkeit und eindeutige Primfaktorzerlegung
- endliche und algebraische Körpererweiterungen
- Fortsetzung von Körperhomomorphismen
- normale Körperweiterungen
- Theorie der endliche Körper
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| Literatur: |
- M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
- J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
- S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
- F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.
- S. Müller-Stach, J. Piontkowski,
Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag.
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