| Vorlesung: |
montags, 10:15-11:55 Uhr, mittwochs, 8:15-9:55 Uhr und donnerstags, 12:15-13:55 Uhr,
jeweils im Hörsaal B 138
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| Globalübung: |
dienstags 16:15-17:45 Uhr im Hörsaal B 138 |
| Dozent: |
Dr. Ralf Gerkmann |
| Klausurtermin: |
Montag, 16. Februar 2025, 9:30-11:30 Uhr |
| Nachklausurtermin: |
wird in Kürze bekanntgegeben |
| Vorlesungsskript: |
Stand 4. Dezember (173 Seiten als PDF)
(Ich habe Kapitel 10 noch etwas überarbeitet, und dabei musste
ich leider auch die Reihenfolge der Sätze ändern. Bitte
laden Sie das Kapitel deshalb noch einmal neu herunter.)
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| Übungsblätter: |
sind über Moodle verfügbar |
| Übungsgruppen: |
Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt unter Moodle.
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| Vorlesungsverlauf: |
Die Aufzeichnungen der Vorlesungen und Globalübungen sind unter
LMUCast verfügbar.
Tafelanschrieb der ersten Globalübung
| Datum | Inhalt |
Skript |
| 13.10.24 |
Definition des Gruppenbegriffs, symmetrische Gruppen |
3-6 |
15.10.24 |
Endliche lineare Gruppen, Bewegungs- und Diedergruppen |
6-12 |
| 16.10.24 |
Halbgruppen und Monoide, Isomorphismen, Klassifikationsproblem |
12-16 |
| 20.10.25 |
Potenzen in Gruppen, Untergruppen, Erzeugendensysteme |
17-20 |
| 22.10.25 |
Erzeugendensysteme von Sn und An,
Links- und Rechtsnebenklassen | 20-26 |
| 23.10.25 |
Beweis des Satzes von Lagrange | 26-31 |
| 27.10.25 |
Def. der Ordnung von Gruppenelementen, Ordn. von Permutationen |
31-34 |
| 29.10.25 |
Eulersche phi-Funktion, Rechenregel für Elementordnungen |
34-37 |
| 30.10.25 |
Untergruppen zyklischer Gruppen, Gruppenhomomorphismen |
37-42 |
| 03.11.25 |
Existenz und Eindeutigkeit von Gruppenhomomorphismen |
42-45 |
| 05.11.25 |
Normalteiler und Komplexprodukte |
45-48 |
| 06.11.25 |
Innere direkte Produkte und Faktorgruppen |
48-51 |
| 10.11.25 |
Homomorphiesatz und Korrespondenzsatz für Gruppen |
51-55 |
| 12.11.25 |
Isomorphiesätze, freie endlich erzeugte abelsche Gruppen |
55-59 |
| 13.11.25 |
Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen |
59-64 |
| 17.11.25 |
Äußere semidirekte Produkte von Gruppen |
65-68 |
| 19.11.25 |
Kommutatorgruppen, Auflösbarkeit und Subnormalreihen |
68-70 |
| 20.11.25 |
(Nicht-)Auflösbarkeit von An und Sn,
Def. der Gruppenoperationen |
70-75 |
| 24.11.25 |
Satz von Cayley, Symmetriegruppen der Platonischen Körper |
75-80 |
| 26.11.25 |
Klassengleichung, Einfachheit der Gruppe A5 |
80-87 |
| 27.11.25 |
Eigenschaften von p-Gruppen, Nullter Sylowsatz |
87-94 |
| 01.12.25 |
Beweis der Sylowsätze, Anwendungen |
94-98 |
| 03.12.25 |
Ringe und Ringhomomorphismen, Nullteiler und Einheiten |
99-103 |
| 04.12.25 |
Erzeugendensysteme für Ringerweiterungen, Ideale |
103-111 |
| 08.12.25 |
Rechenoperationen mit Idealen, Primideale, maximale Ideale |
111-117 |
| 10.12.25 |
Definition der Faktorringe, Beispiele, Homomorphiesatz |
118-123 |
| 11.12.25 |
Eigenschaften von Faktorringen, Konstruktion von Ringerweiterungen |
123-134 |
| 15.12.25 |
Eigenschaften der Polynomringe, Definition der euklidischen Ringe |
134-138 |
| 17.12.25 |
Euklidischer Algorithmus, irreduzible Elemente und Primelemente |
138-143 |
| 18.12.25 |
Primideale in Hauptidealringen, Definition faktorieller Ringe |
143-148 |
| 22.12.25 |
Eindeutigkeit der Primfaktorzerl., Hauptidealringe sind faktoriell |
148-153 |
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| Inhalt: |
Algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper bilden
die unverzichtbare Grundlage für jedes Teilgebiet der
Mathematik, angefangen beim Lösen elementarer zahlentheoretischer
Probleme oder algebraischer Gleichungen, über die
Klassifikation diskreter geometrischer Strukturen und topologischer
Räume bis hin zu fortgeschrittenen Bereichen wie der Algebraischen
Geometrie oder der Harmonischen Analysis. Auch in vielen Anwendungsgebieten,
in der Informatik beispielsweise in der Kryptographie und in der Theorie der
Programmiersprachen, innerhalb der Physik etwa in der Klassischen Mechanik,
der Quantenmechanik und der Elementarteilchenphysik, spielen sie eine wichtige
Rolle.
Der Stoff der Vorlesung gliedert sich in drei Teilbereiche, die Gruppen-, Ring- und
Körpertheorie, wobei man allerdings einige wichtige Konzepte in jedem dieser
Bereiche antrifft (zum Beispiel Faktorstrukturen und
Homomorphiesätze). Beim Aufbau der Gruppentheorie
orientieren uns unter andrem am sog. Klassifikationsproblem, bei dem wir
vor allem durch die zuletzt behandelten Sylowsätze entscheidende Fortschritte
erzielen werden. Bei der Ringtheorie stehen als Motivation vor allem Probleme der
klassischen Zahlentheorie im Vordergrund. Im letzten Teil der Vorlesung
befassen wir uns mit der Theorie der algebraischen Körpererweiterungen.
Den krönenden Abschluss der Algebra wird die (im Sommersemester behandelte)
Galoistheorie bilden, bei der die Gruppen- und die Körpertheorie miteinander
verbunden werden.
Im Einzelnen werden
in der Vorlesung folgende Themen behandelt.
- Definition der algebraischen Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper
- Homomorphismen, Unter- und Faktorstrukturen, Konstruktion von Erweiterungen
- zyklische und abelsche Gruppen
- (semi-)direkte Produkte und Auflösbarkeit
- Gruppenoperationen und Sylowsätze
- Kongruenzrechnung
- Teilbarkeit und eindeutige Primfaktorzerlegung
- endliche und algebraische Körpererweiterungen
- Fortsetzung von Körperhomomorphismen
- normale Körperweiterungen
- Theorie der endliche Körper
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| Literatur: |
- M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
- J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
- S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
- F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.
- S. Müller-Stach, J. Piontkowski,
Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag.
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