\par
\vspace{2cm}
Bezeichnungen:
\[
	\N_0 := \{n\in\Z: n\geq 0\},
\]
\[
	\N_1 := \{n\in\Z: n\geq 1\},
\]
\[
	\#X  = 
	\mbox{Anzahl\ der\ Elemente\ einer\ endlichen\ Menge\ }X.
\]
\par
\newpage
{\bf A. Zahlentheoretische Funktionen und Dirichlet-Reihen}
\par
\bigskip
Eine zahlentheoretische (oder arithmetische) Funktion
ist eine Abbildung
\[
	a: \N_1 \To \C,
\]
d.h. eine Folge $(a(n))_{n\geq 1}$ von komplexen Zahlen.
Oft liegen die Werte schon in $\N_1$, $\Z$, $\Q$ oder $\R$.
Einige Beispiele:
\par
\begin{itemize}
\item[a)]\qquad $\DS \Eins : \N_1 \To \N_1, \quad \Eins(n) = 1$ 
		f"ur alle $n \in \N_1$.
\item[b)]\qquad $\DS \delta_1: \N_1 \to \N_1$,
	\quad $\DS\delta_1(n) = \delta_{1n}
		= \cases{ 1 & f"ur $n=1$, \cr
			  0 & f"ur $n\neq 1$.}
		$
\item[c)] Die identische Abbildung
\par
\qquad $\DS \iota :\N_1 \To \N_1, \quad \iota(n) = n
		\quad\mbox{f"ur alle\ } n\in \N_1.
         $
\item[d)] Teiler-Anzahlfunktion
\par
\qquad $\tau(n) = {}$Anzahl der (positiven) Teiler von $n$
	(einschlie"slich $1$ und $n$),
\par
z.B. $\tau(1) = 1$,\enspace $\tau(2) = 2$,\enspace 
	$\tau(4) = 3$,\enspace $\tau(36) = 9$,\enspace
	$\tau(37) = 2$, \dots\,.
\item[e)] Eulersche Phi-Funktion, 
\par
\qquad $\fhi: \N_1 \to \N_1$, \quad $\fhi(n) := \#(\Z/n)^\ast$.
\par
Es ist also $\fhi(n) = 
	\#\bigl\{k\in\{1,2,\dots,n\}: \gcd(k,n)=1\bigr\}$.
\item[f)] Charakteristische Funktion der Menge der Primzahlen
\par
\qquad $\Eins_\P : \N_1 \To \N_1$, \quad
		$\DS \Eins_\P(n) = \cases{ 1, & falls $n$ Primzahl,\cr
				    0  & sonst.
			}.$
\item[g)]\qquad $\log: \N_1 \To \R, \quad n \mapsto \log(n)$.
\item[h)] Von Mangoldtsche Funktion
\par
\qquad $\Lambda: \N_1 \To \R$, \quad
		$\DS \Lambda(n) = \cases{
			\log p, & falls $n=p^k$, ($p$ prim, $k\geq 1$),\cr
			0 & sonst.}
		$ 
\item[i)]\qquad $\Lambda_1: \N_1 \To \Q$, \quad
		$\DS \Lambda_1(n) = \cases{
		\frac{1}{k}, & falls $n=p^k$, ($p$ prim, $k\geq 1$),\cr
			0 & sonst.}
		$
\par
Es gilt $\Lambda_1(n)\log(n) = \Lambda(n)$ f"ur alle $n\in \N_1$.
\item[j)] Beispiel einer Funktion, die auch nicht-reelle
Werte annimmt.
\par
\qquad $c : \N_1 \To \C$, \quad
	$\DS c(n) := \cases{ 
		\phantom{-}0, & falls $n\equiv 0 \mod 5$, \cr
		\phantom{-}1, & falls $n\equiv 1 \mod 5$, \cr
		\phantom{-}i, & falls $n\equiv 2 \mod 5$, \cr
			-i, & falls $n \equiv 3 \mod 5$, \cr
			-1, & falls $n \equiv 4 \mod 5$.
		}
	$
\end{itemize}
\par
\medskip
%%%------------------------------------------------------------
{\bf Definition}. Eine arithmetische Funktion $f:\N_1 \to \C$ 
hei"st {\em multiplikativ}, falls $f(1) = 1$ und
\[
	f(nm) = f(n)f(m) \quad \mbox{f"ur\ alle\ } n,m\in\N_1
		\mbox{\ mit\ }\gcd(n,m) = 1. 
\]
Die Funktion $f$ hei"st {\em vollkommen multiplikativ}, falls
die Bedingung $f(nm)=f(n)f(m)$ ohne Einschr"ankung gilt.
\par
Ist $f$ multiplikativ, so braucht man die Werte von $f$
nur f"ur die Primzahlpotenzen zu kennen, denn aus
$n=p_1^{k_1}\cdot\dots\cdot p_r^{k_r}$ folgt
\[
	f(n) = f(p_1^{k_1})\cdot\dots\cdot f(p_r^{k_r}).
\]
Die Teiler-Anzahlfunktion $\tau$ und die Eulersche Phi-Funktion
sind multiplikativ; die Funktionen $\Eins$, $\delta_1$,
$\iota$ und die Funktion $c$ aus Beispiel j) sind sogar
vollkommen multiplikativ.
\par
{\sl Beispiele.} i) Die Teiler einer Primzahlpotenz $p^k$ sind
$1,p,p^2,\dots,p^k$, also $\tau(p^k) = k+1$. Es folgt
\[
	\tau(p_1^{k_1}\cdot\dots\cdot p_r^{k_r}) 
		= \prod_{\nu=1}^r (k_\nu + 1).
\]
Z.B. ist $36 = 2^2\cdot 3^2$, also $\tau(36) = (2+1)(2+1) = 9$.
\par
\smallskip
ii) F"ur die Eulersche Phi-Funktion gilt 
\[
	\fhi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k\Bigl(1-\frac{1}{p_k}\Bigr),
\]
denn genau die $p^{k-1}$ Vielfachen von $p$ sind unter den
Zahlen $1,2,\dots,p^k$ nicht teilerfremd zu $p^k$. Es folgt
\[
	\fhi(p_1^{k_1}\cdot\dots\cdot p_r^{k_r}) =
   \prod_{\nu=1}^r p_\nu^{k_\nu}\Bigl(1-\frac{1}{p_\nu^{k_\nu}}\Bigr).
\]
Die l"asst sich vereinfachen zu
\[
	\fhi(n) = n\prod_{p\mid n}\Bigl(1-\frac{1}{p}\Bigr),
\]
wobei das Produkt "uber alle Primteiler $p$ von $n$ zu bilden ist.
\par
\bigskip
{\bf Summatorische Funktion.} Ist $f: \N_1 \to \C$ eine 
arithmetische Funktion, so versteht man unter der
summatorischen Funktion von $f$ die Funktion $F: \N_1 \to \C$
mit
\[
	F(n) := \sum_{k \mid n} f(k),
\]
wobei "uber alle Teiler $k \mid n$ zu summieren ist.
\par
\medskip
{\sl Beispiele.} i) Die Teiler-Anzahlfunktion $\tau$
l"asst sich schreiben als
\[
	\tau(n) = \sum_{k\mid n} 1 = \sum_{k\mid n} \Eins(k),
\] 
Die Funktion $\tau$ ist also summatorische Funktion der
Funktion $\Eins$.
\par
\medskip
ii) Summatorische Funktion der Eulerschen Phi-Funktion. Es gilt
\[
	\sum_{k\mid n} \fhi(k) = n,
\]
die summatorische Funktion von $\fhi$ ist also die Funktion
$\iota$ aus Beispiel c).
\par
\smallskip
{\sl Beweis.} Die Menge $M_n = \{1,2,\dots,n\}$ ist die
disjunkte Vereinigung der Mengen
\[
	A_k(n) := \{m\in M_n: \gcd(n,m) = k\}.
\]
Da $\gcd(n,m) = k$ genau dann, wenn $k\mid n$, $k\mid m$
und $\gcd(n/k,m/k)=1$, ist $\#A_k(n) = \#A_1(n/k) = \fhi(n/k)$.
Es folgt
\[
	n = \#M_n = \sum_{k\mid n}\#A_k(n) = 
	\sum_{k\mid n}\fhi(n/k) = \sum_{k\mid n}\fhi(k),
\]
denn durchl"auft $k$ alle Teiler von $n$, so durchl"auft
auch $n/k$ alle Teiler von $n$.
\par
\medskip
iii) F"ur die Mangoldtsche Funktion $\Lambda: \N_1 \to \R$
(Beispiel h) gilt
\[
	\sum_{d\mid n} \Lambda(d) = n.
\]
Es gilt der Satz:
\par
\medskip
\begin{satz}
Sei $f: \N_1 \to \C$ eine multiplikative arithmetische
Funktion. Dann ist auch die summatorische Funktion $F$
von $f$ multiplikativ.
\end{satz}
\par
\medskip
Beispielsweise ist die Teiler-Funktion $\tau$ die summatorische
Funktion der Funktion $\Eins$. Da letztere trivialerweise
multiplikativ ist, gibt dies einen neuen Beweis der
Multiplikativit"at von $\tau$.
\par
\bigskip
{\bf Zugeordnete Dirichlet-Reihen.} Jeder arithmetischen
Funktion $a: \N_1 \to \C$ kann man eine sog. Dirichlet-Reihe
\[
	f(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}
\]
zuordnen. Dies ist zun"achst nur eine formale Reihe.
Aber f"ur alle bisher behandelten Beispiele gibt
es ein $s_0 \in \R$, so dass die Reihe f"ur alle
$s > s_0$ konvergiert. 
\par
\medskip
{\bf Beispiele von Dirichlet-Reihen} 
\par
i) F"ur die arithmetische Funktion $\Eins$
(Beispiel a) erh"alt man die Zetafuntion
\[
	\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.
\]
Sie konvergiert f"ur alle $s > 1$.
\par
\smallskip
ii) Die charakteristische Funktion der Menge der Primzahlen
(Beispiel f) ergibt die sog. {\em Primzeta-Funktion}
\[
	\calP(s) = \sum_p \frac{1}{p^s}
\]
Dabei wird "uber alle Primzahlen summiert. Dies Reihe
konvergiert ebenfalls f"ur alle $s > 1$. 
\par
\medskip 
Die Koeffizienten $a(n)$ einer Diruchlet-Reihe 
$f(s) = \sum_{n\geq 1} a(n)/n^s$ sind
durch die Funktion $f(s)$ eindeutig bestimmt.
Dies folgt aus dem Identit"atssatz.
\par
\medskip
\begin{satzA}{Identit"atssatz f"ur Dirichlet-Reihen} Sei
$\DS
	f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}
$
eine Dirichlet-Reihe, die f"ur wenigstens ein $s\in\R$ absolut
konvergiert. Es gebe eine Folge $(s_\nu)_{\nu\geq 1}$ mit
$\lim_{\nu\to\infty} s_\nu = \infty$, so dass
\[
	f(s_\nu) = 0 \quad\mbox{f"ur\ alle\ } \nu.
\]
Dann gilt $a(n) = 0$ f"ur alle $n\in\N_1$.
\end{satzA}
\par
\bigskip
{\bf Dirichlet-Faltung und Produkt von Dirichlet-Reihen} 
\par
Sind $a,b: \N_1 \to \C$ zwei
arithmetische Funktionen, so definiert man ihre
Dirichlet-Faltung $c = a\ast b: \N_1 \to \C$ durch
\[
	(a\ast b)(n) := \sum_{k \mid n} a(k)b(n/k)
		= \sum_{k\mid n} a(n/k)b(k).
\] 
Dies l"asst sich in symmetrischer Form auch so schreiben:
\[
	(a\ast b)(n) = \sum_{k\ell=n} a(k)b(\ell).
\]
Dabei wird "uber alle Paare $k,\ell \in \N_1$ mit
$k\cdot\ell = n$ summiert.
\par
\smallskip
Speziell f"ur $b = \Eins$ (Funktion aus Beispiel a) ergibt
sich
\[
	(a\ast\Eins)(n) = \sum_{k\ell=n} a(k)\Eins(\ell)
		= \sum_{k \mid n} a(k).
\]
Die Dirichlet-Faltung von $a$ mit der Funktion $\Eins$ erzeugt
also die summatorische Funktion von $a$.
\par
\medskip
Der Dirichlet-Faltung zweier arithmetischer Funktionen
entspricht das Produkt der zugeordneten Dirichlet-Reihen.
\[
	\Bigl(\sum_{k=1}^\infty\frac{a(k)}{k^s}\Bigr)
	\Bigl(\sum_{\ell=1}^\infty\frac{b(\ell)}{\ell^s}\Bigl) 
	= \sum_{n=1}^\infty \frac{c(n)}{n^s}
\]
mit \quad $\DS c(n) = (a\ast b)(n) 
	:= \sum_{k\ell=n}a(k)b(\ell) = \sum_{k\mid n} a(k)b(n/k)$.
\par
\bigskip
"Uber das Konvergenzverhalten von Dirichlet-Reihen gibt
folgender Satz Auskunft: 
\par
\medskip
\begin{satz} Sei 
$\DS
	f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}
$
eine Dirichlet-Reihe.
Es existiere ein $s_0 \in \R_+$, so dass 
\[
	A(x) := \sum_{n\leq x} a(n) = O(x^{s_0}) 
	\quad\mbox{f"ur\ } x \to \infty.
\] 
Dann konvergiert die Reihe $f(s)$ f"ur alle $s > s_0$. Die
Funktion $f(s)$ ist dort sogar differenzierbar mit
\[
	f'(s) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n)a(n)}{n^s}.
\]
\end{satz}
\par
\medskip
Zum Beweis benutzt man folgenden Satz
\par
\medskip
\begin{satzA}{Abelsche partielle Summation}
Sei $a : \N_1 \to \C$ eine zahlentheoretische Funktion und
\[
	A(x) := \sum_{n\leq x} a(n).
\]
Weiter sei $f: \left[1,\infty\right[ \to \R$ eine stetig
differenzierbare Funktion.
Dann gilt f"ur alle $x \geq 1$
\[
	\sum_{n\leq x} a(n)f(n) = A(x)f(x) - \int_1^x A(t)f'(t)dt.
\]
\end{satzA}
\par
\medskip
\par
\medskip
{\bf Logarithmus der Zetafunktion}
\par
\quad$\DS \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda_1(n)}{n^s}
	= \calP(s) + \underbrace{\sum_{k\geq 2}\frac{\calP(ks)}{k}}
	_{\scriptsize\mbox{beschr. f"ur $s\geq 1$}}
$.
\par
\smallskip
%%%-------------------------------------------------------
{\bf Verhalten f"ur $s\searrow 1$:}
\par
\quad$\DS \zeta(s) = 
	\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\sim \frac{1}{s-1}$,
\quad$\DS \calP(s) = \sum_{p}\frac{1}{p^s}\sim \log\frac{1}{s-1}$,
\par
\quad insbesondere $\DS \sum_{p}\frac{1}{p}=\infty$ (Euler).
\iffalse
{\bf Ring-Struktur.}
Die Menge aller arithmetischen Funktionen $a : \N_1 \to \C$
bildet mit der nat"urlichen Addition $(a+b)(n) := a(n) + b(n)$
und der Dirichlet-Faltung als Multiplikation einen 
kommutativen Ring mit Eins-Element $\delta_1$ (Beispiel b).
\fi
\par
\bigskip
\newpage
%%%------------------------------------------------
{\bf B. M"obiusscher Umkehrsatz; verschiedene Versionen
        und Anwendungen}
\par
\bigskip
Die M"obius-Funktion
$
    \mu: \N_1 \to \Z
$
ist definiert durch
\[
    \mu(n) := \cases{
        0, & falls $n$ nicht quadratfrei, \cr
        (-1)^r, & falls $n$ quadratfrei und $r$
            verschiedene Primteiler hat.
    }
\]
F"ur $n \leqs 14$ ergeben sich folgende Werte
\[
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   $n$   & 1 & 2    &   3  & 4 &  5   & 6 &  7   & 8 & 9
        & 10 & 11 & 12 & 13 & 14
                                                        \\ \hline
$\mu(n)$ & 1 & $-1$ & $-1$ & 0 & $-1$ & 1 & $-1$ & 0 & 0
        & 1 & $-1$ & 0 & $-1$ & 1
\end{tabular}
\]
Ein erstes interessantes Auftreten der M"obiusfunktion ist
die Dirichlet-Reihe von $1/\zeta(s)$
\[
	\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}.
\] 
1) Der klassische M"obiussche Umkehrsatz lautet:
\par
Sei $f : \N_1 \to \C$ eine arithmetischen Funktion. Die sog.
summatorische Funktion von $f$ ist definiert durch
\[
	F(n) := \sum_{k\mid n} f(k).
\]
(Dabei wird "uber alle Teiler $k$ von $n$ summiert; z.B.
$F(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(6)$.) Dann kann man $f$
aus $F$ wieder zur"uckgewinnen durch
\[
	f(n) = \sum_{k\mid n} \mu(k) F\Bigl({n \over k}\Bigr)
        = \sum_{k\mid n} \mu\Bigl({n \over k}\Bigr) F(k)
	= \sum_{k\cdot\ell=n} \mu(k) F(\ell).
\]
Es gibt viele Varianten des Umkehrsatzes, z.B.
\par
\smallskip
2) Sei $f: \left[1,+\infty\right[ \to \C$ eine beliebige 
komplexwertige Funktion und
\[
	F(x) := \sum_{k\leq x} f\Bigl(\frac{x}{k}\Bigr)
	\quad\mbox{f"ur\ } x \geq 1.
\] 
Dabei wird "uber alle nat"urliche Zahlen $k \leq x$
summiert. Dann gilt
\[
	f(x) = \sum_{k\leq x} \mu(k) F\Bigl(\frac{x}{k}\Bigr).
\]
\par
\smallskip
3) Sei $f: \left[1,+\infty\right[ \to \C$ eine Funktion
mit $f(x) = 0$ f"ur $x < 1+\eps$, ($\eps > 0$), und
\[
	F(x) := \sum_{k=1}^\infty f(x^{1/k}).
\]
Dann folgt
\[ 
	f(x) = \sum_{k=1}^\infty \mu(k) F(x^{1/k}).
\]
\par
\smallskip
4) Sei $f: \left[1,+\infty\right[ \to \C$ eine Funktion
mit $f(x) = O(1/x^\eps)$ f"ur $x\to\infty$ und
\[
	F(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{f(kx)}{k}
\]
Dann folgt
\[
	f(x) = \sum_{k=1}^\infty \mu(k) \frac{F(kx)}{k}.
\]
\par
\smallskip
5) Sei $f: \left[1,+\infty\right[ \to \C$ eine beliebige 
komplexwertige Funktion und $\alpha: \N_1 \to \C$ eine
vollst"andig multiplikative Funktion.
\par
Die Funktion $F: \left[1,+\infty\right[ \to \C$ werde
definiert durch
\[
	F(x) = \sum_{k\leq x} \alpha(k)f\Bigl(\frac{x}{k}\Bigr).
\]
Dann folgt
\[
	f(x) = \sum_{k\leq x}\mu(k)\alpha(k)F\Bigl(\frac{x}{k}\Bigr).
\]
\par
\smallskip
6) Sei $G$ eine abelsche multiplikativ geschriebene Gruppe
und $f : \N_1 \to G$ eine beliebige Funktion. Sei
\[
	F(n) := \prod_{k\mid n} f(k).
\]
Dann folgt
\[
	f(n) = \prod_{k\mid n} F(d)^{\mu(n/k)}
\]
\par
\bigskip
Eine Anwendung von 6) ist z.B.:
\par
Sei $\Phi_n(X) \in \Q[X]$ das $n$-te Kreisteilungs-Polynom.
Es gilt bekanntlich
\[
	X^n - 1 = \prod_{k \mid n} \Phi_k(X).
\]
Es folgt
\[
	\Phi_n(X) = \prod_{k\mid n} (X^k - 1)^{\mu(n/k)}
\]
Die Gruppe im Sinne von 6) ist hier $G = \Q(X) \setdiff {0}$,
die multiplikative Gruppe des Funktionenk"orpers $\Q(X)$
und $f(n) = X^n - 1$, $F(n) = \Phi_n(X)$.
\par
\medskip
Lit.: [Apo], Thm. 2.9 and Thm. 2.23, \par
Vorl. WiSe 2001/02, 
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/ann/annth_03.pdf}
{Chap. 3}. 
\par
Vorl. SoSe 2008, 
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/prim/prim05.pdf}
{Kap. 5}
\newpage
%%%------------------------------------------------
{\bf C. Euler-Mascheronische Konstante und Dirichletscher
Teilersatz}
\par
\bigskip
Die Euler-Mascheronische Konstante ist definiert als
\[
	\gamma := \lim_{N\to\infty} 
	\Bigl(\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \log N\Bigr)
	= 0.57721\dots
\]
Es besteht ein bemerkenswerter Zusammenhang mit
der Teilerfunktion $\tau(n)$.
Nach Definition ist $\tau(n)$ die Anzahl der (positiven)
Teiler einer nat"urlichen Zahl $n$ 
(einschlie"slich der trivialen Teiler $1$ und $n$).
Z.B. gilt
\[
	\tau(1) = 1,\quad \tau(2) = 2, \quad \tau(3) = 2, \quad
	\tau(4) = 3,\enspace\dots,\enspace\tau(12) = 6,\enspace \dots
\]
Dirichlet hat bewiesen: F"ur reelles $x \geq 1$ gilt
\[
    \sum_{n\leq x} \tau(n) = x(\log x + 2\gamma - 1) + O(\sqrt x).
\]
Daraus folgt:
\[
	\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}
	\sum_{n\leq x} \tau(n) = \log x + (2\gamma-1);
	\qquad 2\gamma - 1 = 0.154\dots .
\]
Die durchschnittliche Anzahl der Teiler einer nat"urlichen
Zahl $n \leq x$ ist also asymptotisch gleich $\log x + (2\gamma-1)$.
\par
\bigskip
Im Vortrag soll die Existenz des Limes bei der
Definition der Euler-Mascheronischen Konstante gezeigt 
und dann der Dirichletsche Teilersatz bewiesen
werden, wobei insbesondere auf die Beweismethode,
den sog. Hyperbeltrick, einzugehen ist.
\par
\medskip
Lit.: Vorl. WiSe 2008/09, 
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/zeta/zeta03.pdf}
{Kap. 3}.
\par
\qquad ƒ[Apo], Chap. 3.5.
\par
\bigskip
\newpage
%%%------------------------------------------------
\def\Sqfr{{\rm Sqfr}}%
\def\Copr{{\rm Copr}}%
%%-------------------------------------------------
{\bf D. $\zeta(2)$ und die asymptotische Dichte der 		quadratfreien Zahlen\newline
	\phantom{C.\enspace} und der Paare teilerfremder Zahlen}
\par
\bigskip
Euler hat bewiesen, dass
\[
	\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} 
	= \frac{\pi^2}{6} = 1.64493\dots
\]
1) Es gibt einen bemerkenswerten Zusammenhang dieser Zahl
mit der H"aufigkeit quadratfreier Zahlen, d.h. nat"urlicher
Zahlen $n$, die durch kein Quadrat einer Primzahl
teilbar sind. Die Liste der quadratfreien Zahlen beginnt
mit
\[
	1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,\dots
\]
F"ur eine nat"urliche Zahl $N$ bezeichnen wir mit $\Sqfr(N)$ 
die Menge aller quadratfreien nat"urlichen Zahlen $n \leq N$.
($\Sqfr$ von engl. {\em squarefree}) und mit
$\#\Sqfr(N)$ deren Anzahl. Dann gilt
\[
	\lim_{N\to\infty} \frac{\#\Sqfr(N)}{N} =
	\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} = 0.6079\dots
\]
Man kann dies so interpretieren, dass durchschnittlich etwa
61 Prozent der nat"urlichen Zahlen quadratfrei sind.
\par
\medskip
2) Analog gibt es eine Aussage "uber die Wahrscheinlichkeit,
dass zwei unabh"angig zuf"allig gew"ahlte nat"urliche Zahlen
$n,k$ teilerfremd sind. Wir bezeichnen mit $\Copr(N)$
die Menge aller Paare $n,k$ nat"urlicher Zahlen mit 
$n,k\leq N$ und $\gcd(n,k)=1$. 
($\Copr$ von engl. {\em coprime} = teilerfremd.)
\newline
Hier gilt
\[
	\lim_{N\to\infty} \frac{\#\Copr(N)}{N^2} = 
	\frac{1}{\zeta(2)} =\frac{6}{\pi^2}.
\]
\par
\medskip
In dem Vortrag sollen die Formel $\zeta(2) = \pi^2/6$
und die Aussagen 1) und 2) bewiesen werden.
\par
\medskip
Lit.: [Fo2] f"ur $\zeta(2)$,\\
Vorl. WiSe 2001/02, 
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/ann/annth_04.pdf}
{Chap. 4}, Thm. 4.10, f"ur $\Copr(N)$
\par
\bigskip
\newpage
%%%-------------------------------------------------------
{\bf DZ. Elementare Absch"atzungen zur Primzahlverteilung,
\par\qquad Bertrandsches Postulat}
\par
\bigskip
F"ur eine reelle Zahl $x > 1$ bezeichne $\pi(x)$ die
Anzahl der Primzahlen $\leq x$. Schon Legendre und
Gau"s haben vermutet, dass $\pi(x)$ asymptotisch gleich
$\DS\frac{x}{\log x}$ ist, d.h.
\[
	\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.
\]
Diese Aussage, der sog. Primzahlsatz, wurde 1896 unabh"angig
von J.~Hadamard und Ch.~de la Vall\'ee Poussin bewiesen.
\par
In diesem Seminar soll mit elementaren Mitteln nur
eine abgeschw"achte Aussage, n"amlich
\begin{nbeqr}{($\ast$)}
	\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{\log x} \leq \pi(x)
		\leq 4\cdot\frac{x}{\log x},\quad (x\geq 3),
\end{nbeqr}
bewiesen werden. Eine wichtige Rolle spielen dabei die
von Tschebyscheff eingef"uhrten Funktionen
\begin{eqnarray*}
	\thet(x) &:=& \sum_{p\leq x} \log p, \\
	\psi(x) &:=&  \sum_{p^k \leq x} \log p.
\end{eqnarray*}
Der Primzahlsatz ist "aquivalent zu den asymptotischen
Beziehungen $\thet(x) \sim x$ und $\psi(x) \sim x$
f"ur $x\to\infty$. Im Seminar sollen nur Abschw"achungen
davon bewiesen werden, aus denen man ($\ast$) folgern
kann.
\par
Eine weitere Aussage, die man damit beweisen kann,
ist das sog. Bertrandsche Postulat, das besagt, dass
zu jedem $n\in\N_1$ eine Primzahl $p$ existiert
mit
\[
	n < p \leq 2n.
\]
\par
Lit. Skript 
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/PZV_Bertrand.pdf}
{PZV\_Bertrand.pdf}
\par
\bigskip
\newpage
%%%-------------------------------------------------------
{\bf E. Fermatsche und Mersennesche Primzahlen}
\par
\bigskip
a) Eine Zahl der Gestalt $2^n + 1$ ist h"ochstens dann prim,
wenn $n=2^k$ eine Zweierpotenz ist. Fermat glaubte,
dass alle Zahlen der Gestalt $F_k := 2^{2^k}+1$, $k=0,1,2,3,\dots$
Primzahlen seien. Dies ist zwar richtig f"ur $k=0,1,2,3,4$,
aber schon $F_5 = 42949\,67297 = 641\cdot 6700417$ ist
eine zusammengesetzte Zahl. Bisher wurden keine weiteren
Fermatschen Primzahlen gefunden. Von P\'epin stammt folgendes
Kriterium:
\par
\medskip
\qquad $F_k = 2^{2^k} + 1$ ist genau dann prim, wenn
	$3^{(F_k-1)/2} \equiv -1 \mod F_k$
\par
\medskip
Ist $F_k$ nicht prim, so haben die Primteiler $p$ von $F_k$ eine
spezielle Gestalt: Es ist $p = h\cdot 2^{k+2} + 1$ mit einer
ganzen Zahl $h \geq 1$. Z.B. ist der oben genannte Teiler von $F_5$
gleich $p = 5\cdot 2^7 + 1$.
\par
\bigskip
b) Eine Zahl der Gestalt $2^n - 1$ ist h"ochstens dann prim,
wenn der Exponent $n$ eine Primzahl ist. Aber nicht f"ur
jede Primzahl $p$ ist die sog. Mersenne-Zahl $M_p = 2^p - 1$
prim. Es gilt das folgende Kriterium von Lucas:
\par
\medskip
Sei $n \geq 3$ ungerade. Genau dann ist
$M_n = 2^n - 1$ eine Primzahl, wenn f"ur die wie folgt
rekursiv definierte Folge $(v_k)$ ganzer Zahlen
\begin{eqnarray*}
        v_0 &:=& 4, \\
        v_k &:=& v_{k-1}^2 - 2,\quad (k \geq 1),
\end{eqnarray*}
gilt: $v_{n-2} \equiv 0 \mod M_n$.
\par
\medskip 
Ist $M_p$ nicht prim, so haben die Primteiler $q$ von $M_p$
eine spezielle Gestalt: Es ist $q = 2kp + 1$ mit einer
ganzen Zahl $k$. Au"serdem gilt $q = \pm 1 \mod 8$.
\par
Z.B. ist $M_{11} := 2^{11} - 1 = 2047 = 23\cdot 89$ und
\begin{eqnarray*}
	23 &=& 2\cdot 11 + 1, \qquad 23 \equiv -1 \mod 8, \\
	89 &=& 8\cdot 11 + 1, \qquad 89 \equiv +1 \mod 8.
\end{eqnarray*}
\par
\bigskip
Im Vortrag sollen diese Aussagen bewiesen werden.
\par
\medskip
Lit.: [Fo1], S"atze 11.5 und 11.6, [MSP] S"atze 11.1 und 11.3,
\par
Skript
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/Mersenne_Lucas.pdf}
{Mersenne\_Lucas.pdf} 
\par
\bigskip
\newpage
%%%-------------------------------------------------------
{\bf F. Periodische Dezimalbr"uche und der
        Satz von Midy}
\par
\bigskip
Ist $p$ eine Primzahl${} \neq 2,5$, so ist die Periodenl"ange
des Dezimalbruchs $a/p$, ($0 < a < p$) h"ochstens gleich
$p-1$, und in jedem Fall ein Teiler von $p-1$. Ein Fall,
in dem die maximale Periodenl"ange eintritt, ist $p=7$.
Man beobachtet folgende interessante Erscheinungen:
\begin{eqnarray*}
	1/p &=& 0.\overline{142857}, \\
	3/p &=& 0.\overline{428571}, \\
	2/p &=& 0.\overline{285714}, \\
	6/7 &=& 0.\overline{857142}, \\
	4/7 &=& 0.\overline{571428}, \\
	5/7 &=& 0.\overline{714285}.
\end{eqnarray*}
Die Ziffern der Periode $142857$ werden also zyklisch vertauscht.
\par
Eine analoge Erscheinung erh"alt man f"ur $p=17$, wo die
Periodenl"ange 16 betr"agt.
\[
	1/17 = 0.\overline{0588235294117647}
\]
Dahinter steht die Tatsache, dass die Periodenl"ange
genau dann gleich $p-1$ ist, falls ($10 \mod p$) eine
Primitivwurzel modulo $p$ ist.
\par
F"ur $p=13$ ist dies nicht der Fall, hier hat $10$ in der
mulitplikativen Gruppe $(\Z/13)^\ast$ die Ordnung 6, 
dies ist gleichzeitig die Periodenl"ange; es ist
\[
	1/13 = 0.\overline{076923}
\]
In allen drei F"allen gilt jedoch: Teilt man die Periode
in der Mitte (falls die Periodenl"ange gerade ist) und addiert
diese Zahlen, so erh"alt man
\[
	\begin{array}[t]{r}
	142\\
	+857\\ \hline
	999
	\end{array}
	\begin{array}[t]{c}
	\enspace \\
	\end{array}
	\begin{array}[t]{r}
	05882352\\
	+94117647\\ \hline
	99999999
	\end{array}
	\begin{array}[t]{c}
	\enspace \\
	\end{array}
	\begin{array}[t]{r}
	076 \\
	+923 \\ \hline
	999
	\end{array}	
\] 
Dies sind Beispiele f"ur den Satz von Midy.
\par
\medskip
Im Vortrag sollen die angesprochenen Aussagen "uber die Perioden
und der Satz von Midy bewiesen werden und auch auf andere 
Basen als 10 verallgemeinert werden.
\par
\bigskip
Lit.: [KW] Abschnitt 7.3.1
\par
\bigskip
\newpage
%%%-------------------------------------------------------
{\bf G. Summen von 2 und 4 Quadraten}
\par
\bigskip
1) Nach Fermat ist eine ungerade Primzahl $p$ genau dann
eine Summe von 2 Quadratzahlen, wenn $p \equiv 1 \mod 4$.
Aufgrund der Multiplikativit"at der Normfunktion im
Ring $\Z[i]$ der ganzen Gau"sschen Zahlen folgt daraus:
Eine nat"urliche Zahl $n$ ist genau dann Summe von
zwei Quadraten, wenn in der Primfaktorzerlegung von $n$
die Primfaktoren $p \equiv 3 \mod 4$ mit gerader
Vielfachheit auftreten.
\par
\medskip
2) Ein Satz von Lagrange besagt, dass sich jede nat"urliche
Zahl als Summe von 4 Quadratzahlen darstellen l"asst.
Aufgrund der Multiplikativit"at der Normfunktion
im Ring $\H_\Z$ der ganzzahlige Quaternionen braucht man
das nur f"ur Primzahlen $p$ beweisen. 
\par
\medskip
Die sog. {\em Abstiegsmethode} zum Beweis besteht darin, dass
man sich zun"achst eine Darstellung
\[
	\sum_{\nu=1}^4 x_\nu^2 = kp, \quad k \in \N_1
\]
beschafft und daraus analoge Darstellungen mit kleinerem
$k$ konstruiert, bis man bei $k=1$ angelangt ist.
\par
\smallskip
Eine andere Beweismethode benutzt die Geometrie der
Zahlen (Minkowskischer Gitterpunktsatz)
\par
\medskip
Im Seminar sollen beide Methoden dargestellt werden.
\par
\bigskip
Lit.: [SO], Kap. 9, \quad [MSP], Satz 9.2 und Satz 9.6, \quad
[KW] Satz 11.3,
\par 
Skript \href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/sum24Q.pdf}
{sum24Q.pdf}
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
{\bf H. Charaktere endlicher abelscher Gruppen und 
Dirichletsche $L$-Reihen}
\par
\bigskip
Sei $G$ eine multiplikativ geschriebene endliche abelsche
Gruppe der Ordnung $r := \#G$. Unter einem Charakter von $G$
versteht man einen Gruppen-Homomorphismus
\[
	\chi: G \To \C^\ast.
\]
Die Menge aller Charaktere wird mit $\wh G$ bezeichnet.
Auf $\wh G$ hat man eine nat"urliche Verkn"upfung, mit der
$\wh G$ wieder eine abelsche Gruppe wird, die ebenso viele
Elemente wie $G$ besitzt. Es gelten die 
Orthogonalit"ats-Relationen ($x,y\in G$, $\chi,\psi \in \wh G$)
\begin{eqnarray*}
	\sum_{x\in G} \ov{\chi(x)}\psi(x) &=&
		\cases{ r, & falls $\chi = \psi$,\cr
			0, & falls $\chi \neq \psi$.
		} \\
	\sum_{\chi\in\wh G} \ov{\chi(x)}{\chi(y)} &=& 
		\cases{ r, & falls $x=y$, \cr
			0, & falls $x\neq y$.
		}
\end{eqnarray*}
Die wichtigste Anwendung ist die multiplikative 
Restklassen-Gruppe $G := (\Z/m)^\ast$, ($m\geq 2$).
Hier gilt $\#(\Z/m)^\ast = \fhi(m)$, (Eulersche Phi-Funktion).
\par
\smallskip
Ein Dirichlet-Charakter modulo $m$ ist eine Abbildung
\[
	\chi: \Z \To \C,
\]
f"ur die es einen Charakter $\wt\chi \in \wh{(\Z/m)^\ast}$ gibt,
so dass
\[
	\chi(x) = \cases{
	\wt\chi(x \mod m), & falls $\gcd(x,m) = 1$,\cr
	       \qquad 0, & falls $\gcd(x,m) > 1$.}
\] 
Der sog. Hauptcharakter $\chi_{0m}: \Z \To \C$ entspricht
dem Einheits-Charakter der Gruppe $(\Z/m)^\ast$, d.h.
\[
	\chi_{0m}(x) = \cases{ 1, & falls $\gcd(x,m)=1$, \cr
			       0, & falls $\gcd(x,m) > 1$}
\]
Jedem Dirichlet-Charakter modulo $m$ ist eine sog.
Dirichletsche $L$-Reihe zugeordnet:
\[
	L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.
\]
Es gilt: Ist $\chi$ nicht der Hauptcharakter, so konvergiert
die Reihe $L(s,\chi)$ f"ur alle $s > 0$. Dies liegt daran,
dass 
\[
	\sum_{n\leq x} \chi(n) = O(1) \quad\mbox{f"ur\ } x\to\infty.
\]
Es gilt n"amlich der
\par
\begin{satz} Sei $a: \N_1 \to \C$ eine arithmetische Funktion
mit beschr"ankten Partialsummen, d.h.
\[
	\sum_{n\leq x} a(n) = O(1) \quad\mbox{f"ur\ } x\to\infty.
\]
Dann konvergiert die Dirichlet-Reihe
\[
	f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}
\]
f"ur alle $s > 0$.
\end{satz}
\par
\medskip
F"ur den Hauptcharakter hat man
\[
	L(s,\chi_{0m}) = \sum_{\TS {n\geq 1 \atop \gcd(n,m)=1}} 
			\kern-1ex\frac{1}{n^s}
	\>=\> \prod_{p\mid m}\Bigl(1-\frac{1}{p^s}\Bigr)\zeta(s)
\]
F"ur diese Funktion gilt daher
\[
	\lim_{s\searrow 1} L(s,\chi_{0m}) = \infty,
\]
genauer
\[
	\lim_{s\searrow 1} (s-1)L(s,\chi_{0m}) = \frac{\fhi(m)}{m}. 
\]
\par
\bigskip
Lit. Skript
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/charLseries.pdf}
{charLseries.pdf}
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
%\iffalse
{\bf I. Nichtverschwinden von $L(1,\chi)$ f"ur 
Nicht-Hauptcharaktere $\chi$}
\par
\bigskip
Ist $\chi : \Z \to \C$ ein Dirichlet-Charakter modulo $m$,
der vom Hauptcharakter $\chi_{0m}$ verschieden ist,
so konvergiert die $L$-Reihe $L(s,\chi)$ f"ur alle
$s > 0$, also ist der Wert $L(1,\chi) \in \C$ definiert. 
Die Tatsache, dass $L(1,\chi) \neq 0$, ist ganz wesentlich 
beim Beweis des Dirichletschen Satzes "uber Primzahlen 
in arithmetischen Progressionen. 
\par
Zum Beweis versucht man die Annahme $L(1,\chi)=0$ zum
Widerspruch zu f"uhren.
Dabei spielt es eine gro"se Rolle, ob $\chi$ ein
reeller Charakter ist, d.h. nur reelle Werte annimmt,
oder ein sog. komplexer Charakter, der auch nicht-reelle
Werte annimmt. Der letztere Fall ist der einfachere,
denn dann gilt auch f"ur den konjugierten Charakter $\ov\chi$,
dass $L(1,\ov\chi)=0$. F"ur das Produkt
\[
	\Phi_m(s) = \prod_\chi L(s,\chi),
\]
wobei das Produkt "uber alle Charaktere modulo $m$ gebildet wird
(einschlie"slich des Hauptcharakters), kann man zeigen
\[
	\liminf_{s\searrow 1} \Phi_m(s) \geq 1.
\]
Falls aber zwei Faktoren $L(s,\chi)$ und $L(s,\ov\chi)$ bei
$s=1$ eine Nullstelle haben, "uberwiegt dies den Pol von
$L(s,\chi_{0m})$ an der Stelle $s=1$ und es w"urde folgen
$\lim_{s\searrow 1} \Phi_m(s) = 0$, Widerspruch!
\par
Dieser Beweis versagt im Fall eines reellen Charakters.
In diesem Fall gibt es einen Beweis, der auf der genaueren
Untersuchung des Produkts
\[
	f(s) := \zeta(s)L(s,\chi)
\]
beruht. Dabei zeigt man, dass unter der Voraussetzung
$L(1,\chi) = 0$ die Partialsummen der Dirichlet-Reihe von $f(s)$ 
an der Stelle $s=\half$
beschr"ankt bleiben und f"uhrt dies
zu einem Widerspruch.
\par
Es gibt noch viele andere Beweismethoden f"ur $L(1,\chi) \neq 0$.
\par
\bigskip
Lit.: [Apo], Thm. 6.20,\quad [Mo]
\par
\bigskip
\newpage
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
{\bf J. Dirichletscher Satz "uber Primzahlen in arithmetischen
Progressionen}
\par
\bigskip
Die Primzahlen $p \neq 2$ zerfallen in zwei Klassen:
\par
Erstens die Primzahlen $p \equiv 1 \mod 4$,
\[
	5, 13, 17, 29, 37, 41, \dots .
\] 
und zweitens die Primzahlen $p \equiv 3 \mod 4$,
\[
	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, \dots .
\]
Jede dieser Klassen enth"alt unendlich viele Primzahlen.
\par
Dies l"asst sich im Fall $p \equiv 3 \mod 4$ analog zum
Euklidischen Beweis f"ur die Unendlichkeit der Primzahlen
zeigen: Angenommen, es gebe nur endlich viele Primzahlen
$q_\nu \equiv 3 \mod 4$, $\nu=1,\dots,r$. Man bilde
das Produkt
\[
	Q_3 := 4q_1\cdot q_2\cdot\dots\cdot q_r - 1.
\]
Es gilt $Q_3 \equiv 3 \mod 4$. Dann muss $Q_3$ durch
mindestens eine Primzahl $q\equiv 3 \mod 4$ teilbar
sein (der Fall $q=Q_3$ ist auch m"oglich), denn ein
Produkt von lauter Primzahlen${}\equiv 1 \mod 4$ ist 
wieder${} \equiv 1 \mod 4$. Au"serdem ist $q$ von allen
$q_\nu$ verschieden. Also waren $q_1,\dots,q_r$ nicht
alle Primzahlen${}\equiv 3 \mod 4$, Widerspruch!
\par
\smallskip
Ein entsprechender Beweisansatz f"ur Primzahlen $p\equiv 1 \mod 4$
scheitert. Denn sei
\[
	Q_1 := 4p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_s + 1. 
\]
Dann ist zwar $Q_1 \equiv 1 \mod 4$, aber $Q_1$ k"onnte nur
aus Primzahlen $p \equiv 3 \mod 4$ zusammengesetzt sein,
Beispiel
\[
	4\cdot (5\cdot 13\cdot 17\cdot 29\cdot 37) + 1
	= 4742661 = 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 11 \cdot 419.
\]
Unter Benutzung des 1. Erg"anzungssatzes des quadratischen
Reziprozit"atsgesetzes gelingt aber der Beweis: Sei  
\[
	P_1 := 4\,(p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_s)^2 + 1.
\]
Daf"ur gilt: Jeder Primteiler $p \mid P_1$ ist von allen $q_\nu$
verschieden. Da $P_1 \equiv 0 \mod p$, folgt
\[
	(2\,p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_s)^2 \equiv -1 \mod p,
\]
d.h. $-1$ ist ein Quadrat modulo $p$. Das bedeutet
aber 
\[
	\Bigl(\frac{-1}{p}\Bigr) = (-1)^{(p-1)/2} = 1
	\quad\Implies\quad 
	p \equiv 1 \mod 4.
\]
\par 
Der allgemeine Satz von Dirichlet "uber Primzahlen in
arithmetischen Progressionen lautet:
\par
Sei $m \geq 2$ und $a$ eine ganze Zahl mit $0 < a < m$ und
$\gcd(a,m) = 1$. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen
$p \equiv a \mod m$. In einem gewissen Sinn gibt es
sogar asymptotisch gleichviele Primzahlen in allen
$\fhi(m)$ teilerfremden Restklassen $a \mod m$.
Dies l"asst sich so pr"azisieren: F"ur reelles $x > 0$ sei
\[
	P(x) := \sum_{p\leq x} \frac{1}{p}.
\]
Dabei wird "uber alle Primzahlen $p \leq x$ summiert.
Nach Euler gilt $\lim_{x\to\infty} P(x) = \infty$.
\par
Analog sei f"ur $\gcd(a,m) = 1$
\[
	P_{a,m}(x) :=
	\sum_{\TS{{p\leq x}\atop{p\equiv a\mod p}}} 
		\frac{1}{p}\,.
\]
Dabei wird nur "uber alle Primzahlen $p\leq x$ mit
$p\equiv a \mod m$ summiert. Damit gilt dann
\begin{nbeql}{($\diamond$)}
	\lim_{x\to\infty}\frac{P_{a,m}(x)}{P(x)} = \frac{1}{\fhi(m)}.
\end{nbeql}
Zum Beweis benutzt Dirichlet die Theorie der Charaktere
modulo $m$. F"ur $\chi \in \wh{(\Z/M)^\ast}$ und $x > 0$ sei
\[
	P(x,\chi) := \sum_{n\leq x}\frac{\chi(n)}{n}.
\]
F"ur den Hauptcharakter $\chi_{0m}$ gilt
\[
	P(x,\chi_{0m}) = \sum_{{p\,\nmid\, a},\; p\leq x}
		\frac{1}{p}.
\]
Ein wesentlicher Punkt ist, dass f"ur einen Nicht-Hauptcharakter
$\chi$ die Summen $P(x,\chi)$ f"ur $x\to \infty$ beschr"ankt
bleiben; sogar der Limes 
\[
	\lim_{x\to\infty} P(x,\chi) = \sum_p \frac{\chi(p)}{p}
	\qquad\mbox{(Summation "uber alle Primzahlen $p$)}
\]
existiert. Aufgrund der Orthogonalit"ats-Relationen f"ur
Dirichlet-Charaktere gilt
\begin{eqnarray*}
	\fhi(m) P_{a,m}(x) &=& \sum_{\chi} \ov\chi(a) P(x,\chi) \\
	&=& P(x,\chi_{0m}) + \sum_{\chi\neq\chi_{0m}} P(x,\chi).
\end{eqnarray*}
Dividiert man durch $P(x)$ und geht zum Limes $x\to\infty$ "uber,
erh"alt man die Behauptung ($\diamond$)
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
{\bf K. Die Legendre-Gleichung}
\par
\bigskip
Die Legendre-Gleichung lautet
\[
	ax^2 + by^2 + cz^2 = 0.
\]
Dabei sind $a,b,c$ vorgegebene, von Null verschiedene ganze 
Zahlen. Gesucht ist eine ganzzahlige L"osung
$(x,y,z) \neq (0,0,0)$. O.B.d.A. ist $\gcd(a,b,c) = 1$.
Au"serdem kann der allgemeine Fall leicht auf den 
Fall zur"uchgef"uhrt werden, dass die Koeffizienten
quadratfrei sind.
\par
\medskip
F"ur den Beweis des Drei-Quadrate-Satzes brauchen wir nur folgenden
Spezialfall.
\par
\medskip
%%-----------------------------------------------------
\begin{satz}
Seien $a,b \in \Z \setdiff \{0\}$ quadratfreie, teilerfremde ganze Zahlen,
die nicht beide negativ sind.
Genau dann besitzt die Gleichung
\[
    ax^2 + by^2 = z^2
\]
eine L"osung $(x,y,z) \in \Z^3 \setdiff \{(0,0,0)\}$, 
wenn folgende Bedingungen erf"ullt sind:
\par
\medskip
{\ \rm (i)} \quad $a$ ist ein Quadrat modulo $b$,
\par
\medskip
{\rm (ii)} \quad $b$ ist ein Quadrat modulo $a$.
\end{satz}
\par
\medskip
Falls $\gcd(a,b) = d > 1$, so ist folgende zus"atzliche
Bedingung zu stellen:
\par
\smallskip
Setze $a_1 := a/d$ und $b_1 := b/d$. Damit lautet die
Zusatzbedingung: 
\par
\smallskip
(iii) \quad{\it $-a_1b_1$ ist ein Quadrat modulo $d$}.
\par
\medskip
\par
Lit.: Skript
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/LegSum3Q.pdf}
{LegSum3Q.pdf}
\quad
und \quad[Dav], Chap. VII, 3.
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
{\bf L. Summen von 3 Quadraten}
\par
\bigskip
Nicht jede nat"urliche Zahl ist die Summen von drei
Quadratzahlen, z.B. l"asst sich die Zahl 7 nicht in der
Form $7 = x^2 + y^2 + z^3$ mit $x,y,z \in \Z$ darstellen,
wovon man sich leicht direkt "uberzeugen kann.
Die allgemeine Aussage wird durch folgenden Satz
wiedergegeben:
\par
\begin{satz} Eine nat"urliche Zahl $n$ ist genau dann
Summe von 3 Quadraten, d.h.
\[
	n = x^2 + y^2 + z^2 \quad\mbox{mit\ } x,y,z \in \Z,
\]
wenn $n = 4^k m$ mit $4 \nmid m$ und $m \not\equiv 7 \mod 8$.
\end{satz}
\par
\medskip
Der allgemeine Fall kann leicht auf den Fall $k=0$ zur"uckgef"uhrt
werden.
\par
Zum Beweis benutzt man einen Satz von L. Aubry, dass es
gen"ugt, $n$ als Summe von drei Quadraten rationaler
Zahlen darzustellen, oder, was nach Multiplikation
mit dem Hauptnenner auf dasselbe hinausl"auft,
$(t,x,y,z) \in \Z^4$ mit $t\neq 0$ zu finden, so dass
\[
	nt^2 = x^2 + y^2 + z^2.
\]
Dann konstruiert man mithilfe des Dirichletschen Primzahlsatzes
im Fall $n\equiv 1 \mod 4$ oder $n \equiv 2 \mod 4$ eine
Primzahl $p\equiv 1 \mod 4$, so dass die Legendre-Gleichung
\[
	nt^2 - py^2 = z^2
\] 
l"osbar ist. Nun ist nach Fermat $p$ eine Summe von
2 Quadraten, $p = u^2 + v^2$. Setzt man dies ein, so
erh"alt man
\[
	nt^2 = (uy)^2 + (vy)^2 + z^2,
\]  
also nach Aubry auch eine Darstellung von $n$ als Summe
von 3 Qudaratzahlen.
\par
Im noch ausstehenden Fall $n \equiv 3 \mod 8$ findet man
eine Primzahl $p\equiv 1 \mod 4$, so das die 
Legendre-Gleichung
\[
	nt^2 - 2py^2 = z^2
\]
l"osbar ist, und man schlie"st "ahnlich.
\par
Aus dem 3-Quadrate-Satz folgt, dass jede nat"urliche Zahl
eine Summe von 3 Dreieckszahlen ist, d.h. von 3 Zahlen
der Gestalt $\DS\Delta_\nu = \frac{\nu(\nu+1)}{2}$.
\par
\bigskip
Lit.: Skript
\href{https://www.math.lmu.de/~forster/v/sem23/LegSum3Q.pdf}
{LegSum3Q.pdf}
\par
\bigskip
\newpage
%%%-----------------------------------------------------------
%\fi
%%%-----------------------------------------------------------
{\bf Literatur}
\par
\begin{aufz}{[ABC]}
\item[{[Apo]}] {\sc T.~Apostol}: Introduction to Analytic Number
	Theory. Springer
\item[{[Dav]}] {\sc H.~Davenport}: The Higher Arithmetic.
	Cambridge U.P.
\item[{[Fo1]}] {\sc O.~Forster}: Algorithmische Zahlentheorie.
	2.Aufl. Springer
\item[{[Fo2]}] {\sc O.~Forster}: Analysis 1.
	12.Aufl. Springer Spektrum
\item[{[KW]}] {\sc Kraft/Washington}: An Introduction to
	Number Theory with Cryptography. CRC Press.
\item[{[Mo]}] {\sc P.~Monski}: Simplifying the Proof of
	Dirichlet's Theorem. Amer. Math. Montly {\bf 100} (1993)
	861 -- 862.
\item[{[MSP]}] {\sc M"uller-Stach/Piontkowski}:
	Elementare und algebraische Zahlentheorie. 2.Aufl. Vieweg 2011
\item[{[SO]}] {\sc Scharlau/Opolka}: Von Fermat bis Minkowski.
	Springer
\end{aufz}
%%%-------------------------------------------------------
\iffalse
<li> Zahlentheoretische Funktionen und Dirichlet-Reihen
        <p></p>
<li> M&ouml;biusscher Umkehrsatz; verschiedene Versionen
        und Anwendungen
        <p></p>
<li> Euler-Mascheronische Konstante und Dirichletscher
        Teilersatz
        <p></p>
<li> Zeta(2) und asymptotische Dichte der quadratfreien
        Zahlen und der Paare teilerfremder Zahlen
        <p></p>
<li> Fermatsche und Mersennesche Primzahlen
        <p></p>
<li> Periodische Dezimalbr&uuml;che und der
        Satz von Midy
        <p></p>
<li> Summen von 2 und 4 Quadraten;
        verschiedene Beweise (2 Vortr&auml;ge)
        <p></p>
<li> Charaktere endlicher abelscher Gruppen
        und Dirichletsche L-Reihen
        <p></p>
<li> Nichtverschwinden von L(1,chi) f&uuml;r
        Nicht-Hauptcharaktere chi;
        verschiedene Beweise (2 Vortr&auml;ge)
        <p></p>
<li> Dirichletscher Satz &uuml;ber Primzahlen
        in arithmetischen Progressionen
        <p></p>
<li> Die Legendre-Gleichung
        <p></p>
<li> Summen von 3 Quadraten
\fi
