\thispagestyle{empty}
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$\bullet$ {\bf Zahlentheoretische (arithmetische) Funktionen}
$
	a: \N_1 \To \C.
$
\par
\smallskip
\quad{\sl Beispiele}: $\Eins$, $\delta_1$, $\Eins_\P$, 
Teileranzahl-Funktion $\tau$,
Mangoldt-Funktionen $\Lambda$, $\Lambda_1$.
\par
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$\bullet$ {\bf Definition}\quad multiplikativ, vollst"andig multiplikativ.
\par
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$\bullet$ {\bf Summatorische Funktion} $\DS F(n) := \sum_{d\mid n} f(d)$.
\par
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$\bullet$ {\bf Zugeordnete Dirichlet-Reihe} 
$\DS f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}$,\quad Identit"atssatz.
\par
\quad{Zeta-Funktion}\quad $\DS\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$,
\quad{Primzeta-Funktion} $\DS\calP(s) = \sum_p \frac{1}{p^s}$
\par
\bigskip
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$\bullet$ {\bf Produkt, Dirichlet-Faltung}
\[
	\Bigl(\sum_{k=1}^\infty\frac{a(k)}{k^s}\Bigr)
	\Bigl(\sum_{\ell=1}^\infty\frac{b(\ell)}{\ell^s}\Bigl) 
	= \sum_{n=1}^\infty \frac{c(n)}{n^s}
\]
\qquad mit \quad $\DS c(n) = (a\ast b)(n) 
	:= \sum_{k\ell=n}a(k)b(\ell) = \sum_{k\mid n} a(k)b(n/k)$.
\par
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$\bullet$ {\bf Konvergenz-Satz:}
\quad
{\bf Vor.}\quad$\DS A(x) := \sum_{n\leq x} a(n) = O(x^{\alpha})$
f"ur $x\to\infty$, ($\alpha\in\R_+$).
\par \vspace{-1.5ex}
\quad{\bf Beh.}\quad$\DS f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}$
konvergiert f"ur $s > \alpha$, sogar gleichm"a"sig auf 
$\left[\alpha+\eps,\infty\right[$.
\par\smallskip
\quad Der Beweis st"utzt sich auf
\par
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$\bullet$ {\bf Satz} (Abelsche partielle Summation)
\par
\quad{\bf Vor.}\quad $a : \N_1 \to \C$,\quad 
$\DS A(x) = \sum_{n\leq a} a(n)$,
	\quad $f\colon [1,\infty] \to \C$ stetig differenzierbar.
\par
\quad{\bf Beh.}\quad $\DS \sum_{n\leq x} a(n)f(n) = A(x)f(x) -
			\int_1^x A(t)f'(t)dt$.
\par
\smallskip
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$\bullet$ {\bf Logarithmus der Zetafunktion}
\par
\quad$\DS \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda_1(n)}{n^s}
	= \calP(s) + \underbrace{\sum_{k\geq 2}\frac{\calP(ks)}{k}}
	_{\scriptsize\mbox{beschr. f"ur $s\geq 1$}}
$.
\par
\smallskip
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$\bullet$ {\bf Verhalten f"ur $s\searrow 1$:}
\par
\quad$\DS \zeta(s) = 
	\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\sim \frac{1}{s-1}$,
\quad$\DS \calP(s) = \sum_{p}\frac{1}{p^s}\sim \log\frac{1}{s-1}$,
\par
\quad insbesondere $\DS \sum_{p}\frac{1}{p}=\infty$ (Euler).