\documentclass[12pt]{beamer} % Beamer Dokumentenklasse
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\title {Seminar Zahlentheorie}
\def\ov#1{\overline#1}
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\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\mod{\bmod}
\def\ov#1{\overline{#1}}
\def\mystrut#1#2{\rule[-#1]{0pt}{#2}}
%-----------------
%\usetheme{Madrid}
\usetheme{Rochester}
%\usetheme{default}
%%%----------------------------------------------
\begin{document}
\begin{frame}
\frametitle{Drei-Quadrate-Satz von Gau{\ss}}
{\bf Satz.} Eine nat"urliche Zahl $n$ ist genau dann
als Summe dreier Qudratzahlen darstellbar,
$$
	n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, \quad x_\nu \in \Z,
$$
wenn sich $n$ darstellen l"asst als
$$
	n = 4^km \quad\mbox{mit\ } 4 \nmid m\enspace 
		\mbox{\ und}\quad m\not\equiv 7\mod 8.
$$
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Satz von Aubry}
{\bf Satz.} Sei $n \in \N_1$. Genau dann besitzt
die Gleichung
$$
	n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 
$$ 
eine ganzzahlige L"osung $(x_1,x_2,x_3) \in \Z^3$,
wenn die Gleichung
$$
	nt^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2
$$
eine nicht-triviale L"osung $(t,x_1,x_2,x_3)\in \Z^4$
besitzt.
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Beweis-Idee f"ur Drei-Quadrate-Satz}
Es gen"ugt, den Satz f"ur quadratfreies $n$ zu beweisen.
\par
\medskip
Man bestimmt eine zu $n$ teilerfremde
ganze Zahl $q \geq 1$, die Summe von 2 Quadraten ist,
so dass die Legendre-Gleichung
\par
\medskip
\qquad\qquad\qquad\quad$\displaystyle nx^2 - qy^2 = z^2$
\hfill ($\star$)
\par
\medskip
nicht-trivial l"osbar ist.
\par
\bigskip
{\em Erinnerung:} ($\star$) genau dann 
nicht-trivial l"osbar, wenn
\par
\smallskip
\ (i)\enspace $n$ ist Quadrat modulo $q$,
\par
(ii)\enspace $-q$ ist Quadrat modulo $n$.
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Beweis-Idee f"ur Drei-Quadrate-Satz}
\framesubtitle{Fortsetzung}
Ist $q = u^2 + v^2$, so erh"alt man aus ($\star$)
$$
	nx^2 = (u^2 + v^2)y^2 + z^2 = (uy)^2 + (vy)^2 + z^2
$$
und Anwendung des Satzes von Aubry liefert den
Drei-Quadrate-Satz.
\par
\medskip
Im Fall $n \equiv 1,2 \mod 4$ kann man $q$ als
Primzahl $p \equiv 1 \mod 4$ w"ahlen, im Fall
$n\equiv 3 \mod 8$ kann man $q=2p$ mit einer
Primzahl $p\equiv 1 \mod 4$ w"ahlen.
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Beweis-Idee f"ur Drei-Quadrate-Satz}
\framesubtitle{Fortsetzung 2}
Genauer:
\begin{itemize}
\item Fall $n\equiv 1 \mod 4$.\quad
Man w"ahlt eine Primzahl $p$ mit
\par
\smallskip
\qquad$\displaystyle p = 2n-1 \mod 4n$.
\item Fall $n\equiv 2 \mod 4$.\quad
Man w"ahlt eine Primzahl $p$ mit
\par
\smallskip
\qquad$\displaystyle
	p = n-1 \mod 4n$.
\item Fall $n\equiv 3 \mod 8$.
\quad
Man w"ahlt eine Primzahl $p$ mit
\par
\smallskip
\qquad$\displaystyle
	p = n-2 \mod 4n$
\par
\smallskip
und setzt $q := 2p$.
\end{itemize}
\par
\smallskip
Dabei wird der Dirichletsche Primzahlsatz benutzt.
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Beweis-Idee f"ur Drei-Quadrate-Satz}
\framesubtitle{Fortsetzung 3}
Um zu zeigen, dass f"ur die so gew"ahlten $p,q$
jeweils die Legendre-Gleichung 
\par
\medskip
\qquad\qquad\qquad\quad$\displaystyle nx^2 - qy^2 = z^2$
\qquad\qquad ($\star$)
\par
\medskip
nicht-trivial l"osbar ist, wird wesentlich das
Quadratische Reziprozit"atsgesetz und seine
Erg"anzungs-S"atze benutzt.
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\iffalse
\begin{frame}
\end{frame}
%%%------------------------------------------------
\begin{frame}
\end{frame} 
\fi
\end{document}