MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 9. 7. 2001 Blatt 11

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

37) Die Cotangens-Funktion ist für x ∈ ℝ ∖ ℤπ definiert durch

cot x := \frac{1}{tan x} = \frac{cos x}{sin x}

Man bestimme die Grenzwerte

a) lim_{x→0} x cot x

b) lim_{x→0} (cot x − \frac{1}{x})

38) Sei a ∈ ℝ eine Konstante mit 0 < a < 1. Man berechne die Ableitung der für x > 0 definierten Funktionen

a) f_{0}(x) := log (2 − a^{x})

b) f_{1}(x) := log (2 − a^{1/x})

39) Sei a ∈ ℝ eine Konstante mit 0 < a < 1. Gegeben sei die Funktion

F (x) := (2 − a^{1/x})^{x} , x > 0.

Man untersuche, ob folgende Grenzwerte existieren und bestimme gegebenenfalls ihren Wert:

a) lim_{x↘0} F (x)

b) lim_{x→∞} F (x)

Hinweis: Man betrachte die Funktion log F (x).

40) a) Man beweise

lim_{N→∞} ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} = log 2

indem man die obige Summe als Riemannsche Summe für das Integral ∫_{1}^{2} \frac{dx}{x} interpretiere.

b) Man folgere hieraus (unter Verwendung von Aufgabe 1)

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = log 2

Abgabetermin: Dienstag, 17. Juli 2001, 14:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).