MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 2. 7. 2001 Blatt 10

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

33) Für x ∈ ℝ sind die Funktionen cosh : ℝ → ℝ, sinh : ℝ → ℝ, tanh : ℝ → ℝ definiert

durch

cosh(x) := \frac{1}{2} (e^{x} + e^{−x}) , sinh(x) := \frac{1}{2} (e^{x} − e^{−x}) ,

tanh(x) := \frac{sinh(x)}{cosh(x)}

Man berechne die Ableitungen dieser Funktionen.

34) Für z ∈ ℂ ist die Sinus- und Cosinus-Funktion definiert durch

cos(z) := \frac{1}{2} (e^{iz} + e^{−iz}) , sin(z) := \frac{1}{2i} (e^{iz} − e^{−iz})

Man zeige für x, y ∈ ℝ

a) cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y

b) sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y

35) a) Man zeige, daß die hyperbolische Sinusfunktion sinh x für x ∈ ℝ monoton wachsend ist und ℝ bijektiv auf ℝ abbildet.

b) Man beweise die Gleichung für die Umkehrfunktion Ar sinh : ℝ → ℝ

Ar sinh(x) = log(x + \sqrt{x^{2} + 1})

c) Man berechne die Ableitung von Ar sinh.

36) Man beweise für x ∈ ℝ durch vollständige Induktion nach n ∈ ℕ

\frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}} = P_{n}(x) e^{−x^{2}}

wobei P_{n} ein Polynom n-ten Grades in x ist, und gebe P_{0}, P_{1}, P_{2} explizit an.

Abgabetermin: Dienstag, 10. Juli 2001, 14:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).