MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 25. 6. 2001 Blatt 9

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

29) Man zeige, dass die Funktion

f(x) := \{ \begin{matrix}\frac{e^{x} − 1}{x}, & x ≠ 0 \\ 1, & x = 0 \end{matrix}

stetig auf ℝ ist und gebe eine Potenzreihenentwicklung für f der Form ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} an.

30) a) Man zeige für α ∈ ℝ

lim_{x→0} \frac{e^{αx} − 1}{x} = α

b) Gegeben sei für a > 0 die Folge

x_{n} := n ( ^{n} \sqrt{a} − 1) , (n ≥ 1).

Zeige: lim_{n→∞} x_{n} = log a.

Hinweis: Man schreibe x_{n} in der Form x_{n} = \frac{a^{1/n} − 1}{1/n}.

31) a) Man zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass es genau eine reelle Zahl x > 0

gibt mit

e^{x} = 2 + x

b) Man zeige, dass die rekursiv definierte Folge

x_{0} := 1, x_{n+1} := log(2 + x_{n}),

gegen die in a) genannte Zahl konvergiert.

32) Gegeben sei die komplexe Zahl z = 1 + i.

a) Man berechne z^{−1}, z^{2}, z^{4}, z^{81}.

b) Man bestimme eine komplexe Zahl w = u + iv, so dass w^{2} = z.

!! Abgabetermin: Dienstag, 3. Juli 2001, 14:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).