MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 11. 6. 2001 Blatt 8

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

Dieses Übungsblatt dient der Vorbereitung auf die Klausur am 21. Juni und muss nicht abgegeben werden

Besprechung des 7. Übungsblatts am Dienstag, 19.6., 15.10-16.45 in E05

a) Man beweise durch vollständige Induktion

1) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1}, n ≥ 1

2) \binom{n+1}{k+1} = ∑_{m=k}^{n} \binom{m}{k}, n, k ∈ ℕ, n ≥ k

b) Man zeige

1) \frac{n^{2}}{2^{n}} < \frac{1}{n}, für n ≥ 10

2) max(x, y) = \frac{1}{2} (x + y + |x − y|) für x, y ∈ ℝ

c) Man zeige:

1) 4xy ≤ (x + y)^{2} für alle x, y ∈ ℝ

2) \sqrt{xy} ≤ \frac{1}{2}(x + y) für x, y > 0.

d) Man stelle fest, welche der folgenden fünf Implikationen für x, y ∈ ℝ allgemeingültig sind (Beweis oder Gegenbeispiel)

1) xy ≥ 1 ⟺ x ≥ 1 und y ≥ 1

2) xy ≥ 1 und x, y ≤ 1 ⟺ x = y = 1

3) x + y = 2 ⟹ xy ≤ 1.

b.w. e) Man zeige die Konvergenz der folgenden Reihen

1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{3^{n}}

2) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n}{(n + 2)^{2}}

f) Man bestimme ein N ∈ ℕ, so dass die folgende Abschätzung gilt

∑_{n=N}^{∞} \frac{n + 1}{2^{n}} ≤ 10^{−6}

g) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge

a_{0} := 1, a_{n+1} := \sqrt{1 + a_{n}}

Man beweise ihre Konvergenz, indem man zunächst zeige, dass sie monoton wächst, und bestimme ihren Grenzwert.

h) Man untersuche, welche der folgenden Limites existieren und bestimme gegebenenfalls ihren Wert:

1) lim_{n→∞} (1 − \frac{x}{3n})^{n}
2) lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n})^{3n}
3) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}
4) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}

i) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

1) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, a_{n} := \frac{1}{n} + \frac{(−1)^{n}}{n^{2}}

2) ∑_{n=1}^{∞} b_{n}, b_{n} := \frac{1}{n^{2}} + \frac{(−1)^{n}}{n}