MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 5. 6. 2001 Blatt 7

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

25) Gegeben sei eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen mit lim_{n→∞} a_{n} = 0. Eine zweite Folge (A_{k})_{k∈ℕ} sei definiert durch

A_{0} := \frac{1}{2}a_{0} ,  A_{k} := \frac{1}{2}a_{2k−2} + a_{2k−1} + \frac{1}{2}a_{2k},  k ≥ 1

Man zeige: Konvergiert eine der beiden Reihen ∑_{n=0}^{∞} a_{n}, ∑_{k=0}^{∞} A_{k} gegen ein a ∈ ℝ, so

konvergiert die andere Reihe ebenfalls gegen a.

26) Gegeben sei die Darstellung von π durch die Leibnizsche Reihe

\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + \frac{1}{9} − \frac{1}{11} + ... (∗)

Mit Hilfe von (∗) und Aufgabe 25 beweise man, dass sich π auch durch die folgende Reihe darstellen lässt

π = 2 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{16}{(4k − 3) (16k^{2} − 1)}

27) Man vergleiche die Konvergenz-Geschwindigkeit der beiden Reihen

(i)  π = 4 ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1}

(ii)  π = 2 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{16}{(4k − 3) (16k^{2} − 1)}

indem man für beide Reihen die Zahl der Glieder bestimme, die nötig sind, um den Fehler kleiner als 10^{−m} zu machen (eine grobe Abschätzung ist ausreichend!). Fleißaufgabe (ohne Bewertung): Schreiben Sie ein Computer-Programm für die Auswertung der Partialsummen der Reihen (i) und (ii).

28) a) Man beweise mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für jede reelle Zahl x ≥ 0 gilt

(1 + x)^{n} > \frac{n^{2}}{4} x^{2} für n ≥ 2, n ∈ ℕ

b) Man folgere hieraus

n \sqrt{n} < 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} für n ≥ 1, n ∈ ℕ

c) Man beweise

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1

Abgabetermin: Freitag, 15. Juni 2001, 9:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).