MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 28. 5. 2001 Blatt 6

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

21) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

(1) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{3}}{2^{n}} ,  (2) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{2} + n}{n^{4} − 11n^{2} + 3},  (3) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{n}}{2^{n}n!}.

22) Seien a_{n} für n ≥ 1 reelle Zahlen mit a_{1} = 1 und |a_{n}| ≤ 1 für n ≥ 2. Man zeige: a) Für alle x ∈ ℝ mit |x| < 1 konvergiert die Reihe

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n}.

b) Es gilt f(x) ≠ 0 für 0 < |x| < \frac{1}{2}.

c) Man berechne f(\frac{1}{2}) mit einem absoluten Fehler < 10^{−7} für den Fall, dass a_{n} = 1, falls n eine Quadratzahl, und a_{n} = 0 sonst.

23) Sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine konvergente Reihe und (c_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge. a) Man zeige an einem Beispiel, dass im Allgemeinen die Reihe

∑_{n=0}^{∞} c_{n}a_{n}

nicht konvergiert.

b) Wie ist die Situation, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut konvergiert?

24) Man betrachte folgende Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe:

(1 + \frac{1}{3}) − \frac{1}{2} + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) − \frac{1}{4} + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11}) − \frac{1}{6} + (\frac{1}{13} + \frac{1}{15}) − \frac{1}{8} + …
+ (\frac{1}{2k − 3} + \frac{1}{2k − 1}) − \frac{1}{k} + ….

Man zeige unter Benutzung von ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = log(2), dass diese Umordnung gegen \frac{3}{2} log(2) konvergiert. Anleitung. Man verwende die Summen

S_{k} := ∑_{n=1}^{2k} \frac{(−1)^{n−1}}{n} + \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{k} \frac{(−1)^{n−1}}{n} .

Abgabetermin: Donnerstag, 7. Juni 2001, 11:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).