MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 21. 5. 2001 Blatt 5

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

17) Sei a > 0 und x_{0} > 0 mit ax_{0} < 2. Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} sei rekursiv definiert durch

x_{n+1} := x_{n} (1 + ε_{n}), wobei ε_{n} := 1 − ax_{n}.

Man beweise, dass die Folge gegen 1/a konvergiert.

Hinweis: Man beweise zunächst ε_{n+1} = ε_{n}^{2}, und folgere daraus, dass die Folge (x_{n})_{n≥1} monoton wächst und durch 1/a nach oben beschränkt ist.

18) Gegeben sei die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit

a_{n} := \sqrt{n + 1000} − \sqrt{n}

Man zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

Hinweis: Man beweise zunächst für A > 0 und alle n ≥ 1 :

\sqrt{n + A} < \sqrt{n} + \frac{A}{2\sqrt{n}}

19) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit

a_{0} := \sqrt{2},
a_{n} := \sqrt{2 + a_{n−1}} für n ≥ 1.

Man beweise die Konvergenz der Folge und bestimme ihren Grenzwert.

20) Ein Kettenbruch sei definiert durch die Folge

x_{0} := 1,  x_{n} := 1 + \frac{1}{x_{n−1}} ,  n ≥ 1.

Man bestimme den Wert des Kettenbruchs als Grenzwert der Folge.

Abgabetermin: Donnerstag, 31. Mai 2001, 11:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).

Die 1. Klausur findet am 21. Juni von 9 - 11 Uhr im Hörsaal 138 und 139 statt.