MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 14. 5. 2001 Blatt 4

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

13) Man stelle fest, welche der folgenden Implikationen für x, a, b ∈ ℝ allgemein gültig bzw. i.a. falsch sind. Man beweise die allgemeingültigen Aussagen und gebe für die übrigen Aussagen ein Gegenbeispiel an:

a) |x − a| < b ⟹ x > a − 2b

b) ab > 1 und a < 1 ⟹ b > 1

c) x (x − 2a^{2}) > 0 ⟺ |x − a^{2}| > a^{2}

14) Man beweise für k ∈ ℕ

lim_{n→∞} \binom{n}{k} · \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!}

15) Man zeige die Konvergenz und bestimme den Grenzwert der rekursiv definierten Folge (a_{n})_{n∈ℕ}

{a_{0} := 0, a_{1} := 1 , \atop a_{n} := \frac{1}{3} (2a_{n−1} + a_{n−2}), n ≥ 2 .}

Hinweis: Man untersuche die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} der Differenzen, b_{n} := a_{n} − a_{n−1}, n ≥ 1.

16) Man bestimme den Wert des unendlichen Produkts

∏_{k=2}^{∞} (1 − \frac{1}{k^{2}} ) := lim_{n→∞} ∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k^{2}} )

S3) Dritte Sternaufgabe Seien a_{n} ≥ 0, n ∈ ℕ, nicht-negative reelle Zahlen. Man beweise die folgende Äquivalenz

∏_{n=0}^{∞}(1 + a_{n}) = ∞ ⟺ ∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∞

Abgabetermin: Freitag, 25. Mai 2001, 9:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).